초기에 편향된 무작위 곱셈함수의 진동과 부호변화

초록

본 논문은 초기 소수들에 대해 값이 1로 고정된 무작위 완전곱셈함수 $f$에 대해, $x\to\infty$일 때 $\sum_{n\le N}f(n)\ge0$가 모든 $N\le x$를 만족할 확률이 $o(1)$임을 보인다. 또한 $\sum_{n\ge1}f(n)/\sqrt n$의 부분합이 거의 확실히 무한히 부호를 바꾸는 것을 증명한다.

상세 분석

이 논문은 두 가지 주요 문제를 다룬다. 첫 번째는 “초기 편향(initial bias)”이라 불리는 조건, 즉 $y=(\log x)^{2-\varepsilon}$ 이하의 모든 소수 $p\le y$에 대해 $f(p)=1$으로 고정했을 때, $x$까지의 모든 부분합이 비음수일 확률이 $o(1)$임을 보이는 것이다. 이는 Kucheriaviy가 제시한 상한과 일치하며, 그가 제시한 “$y\ge C(\log x)^2\log\log x\log\log\log x$” 조건이 최적임을 역으로 확인한다. 핵심 아이디어는 $F(s)=\sum_{n\le x}f(n)n^{-s}$를 $s=1/2+t$ 형태로 분석하고, $F(s)$가 비음수이면 $F(s)/s$가 감소함을 이용해 $R(t)=\sum_{p}f(p)p^{-1/2-t}+ \frac12\sum_{p}p^{-1-2t}$ 라는 로그형태의 랜덤 변수와 연결한다. Lemma 2.1에서 $R(t)-R(2t)$의 다변량 중심극한정리를 적용해 독립적인 정규분포 $N_i\sim\mathcal N(\frac12\log2,\frac18\log9)$ 로 수렴함을 보이고, 이때 $t_i$를 적절히 선택하면 $R(2t_i)-R(t_i)$가 일정 상수 이하가 되는 확률이 $(1-\delta)^K$ 로 급격히 감소한다. $K\to\infty$ 하면 전체 사건의 확률이 $0$이 된다. 두 번째 문제는 $\sigma=1/2$인 경우, 즉 $\sum_{n\ge1}f(n)/\sqrt n$의 부호변화에 관한 것으로, Aymone이 $\sigma<1/2$에서 무한 부호변화를 보였고, $\sigma>1/2$에서는 거의 확정적으로 부호가 일정함을 알고 있었다. 저자들은 Lemma 3.1을 통해 $S(t)=\frac1t\sum_{n\ge1}f(n)n^{-1/2-t}$ 가 $t$에 대해 감소해야 함을 보이고, $S(t)$를 다시 $e^{\log(1/t)+R(t)+O(1)}$ 로 표현한다. $S(2t)\le S(t)+8\sqrt{N_0}$ 라는 부등식과 $R(2t)-R(t)$의 정규분포 근사를 결합하면, $t\to0$일 때 $R(2t)-R(t)\le C$ 가 되는 확률이 $(1-\delta)^K$ 로 급감한다. 따라서 어떤 $N_0$에 대해서도 “모든 $N\ge N_0$에 대해 부분합이 비음수(또는 비양수)이다”는 사건은 확률 $0$이며, 결과적으로 부분합은 무한히 부호를 바꾼다. 전체 증명은 복잡한 수론적 추정(소수 합의 근사, Rankin 트릭, Euler 곱 전개)과 확률론적 도구(다변량 CLT, 독립 정규분포의 곱 확률) 를 정교히 결합한 것이 특징이다. 특히 $y$와 $t$의 스케일을 정밀히 조정해 “초기 편향”이 전체 합의 평균에 미치는 영향을 최소화하면서도, 큰 소수들의 무작위성이 만든 변동을 충분히 활용한다는 점이 혁신적이다.