빠른 진동을 갖는 확률 비균질 비압축 나비에 스토크스 방정식의 동질화와 보정 결과

초록

본 논문은 무한 차원 위너 잡음이 작용하는 비균질 비압축 나비에-스토크스 방정식에 대해, 미세 구조가 빠르게 진동하는 경우 ε→0 일 때 두 스케일 수렴과 확률적 콤팩트성 기법을 이용해 동질화된 제한 방정식을 도출하고, 강한 Σ-수렴을 보장하는 보정 정리를 증명한다. 연속 방정식의 비정규화 특성으로 인한 난관을 새로운 정규성 추정식과 확률적 하위 연속성 이론으로 극복한다.

상세 분석

이 연구는 비균질(밀도 가변) 비압축 나비에-스토크스 시스템에 주기적 계수 aᵢⱼ(x/ε,t)와 외력 fε(x/ε,t,u)·가 포함된 경우를 다룬다. 기본 가정은 aᵢⱼ가 균일 타원성(κ>0)과 y‑주기성을 만족하고, f와 g(노이즈 연산자)가 각각 Lipschitz와 선형 성장 조건을 갖는다는 점이다. 주요 난관은 연속 방정식이 전송형이라 정규화 효과가 없고, 무한 차원 위너 잡음이 존재함으로써 전통적인 Burkholder‑Davis‑Gundy 부등식이 바로 적용되지 않는다. 저자들은 이를 해결하기 위해 (1) 새로운 랜덤 변수 K(ω)=sup_{s<t}|G(t)-G(s)|/|t-s|^γ 를 도입해 잡음 항의 시간 정규성을 제어하고, (2) 두 스케일 수렴을 확률적이 아닌 결정론적 두 스케일 수렴(Σ‑weak)으로 전환해 확산 항을 처리한다.

두 스케일 수렴 정의를 통해 ε‑시퀀스 {u_ε}가 L²(Ω×O_T)‑weak‑Σ 로 수렴함을 보이고, 이를 기반으로 Skorokhod‑Jakubowski 재표현 정리를 적용해 새로운 확률공간 (Ω̃,ℱ̃,P̃)에서 거의 확실히 수렴을 확보한다. 결과적으로 u_ε → u (L²(0,T;H) 강수렴)와 ∇u_ε → ∇_x u + ∇_y u (L²(0,T;H)‑weak‑Σ) 를 얻는다. 밀도 ρ_ε는 C(