타일의 상호 소멸과 제로 집합의 등분포 현상

초록

본 논문은 ℤₙ×ℤₙ 상에서 한 집합 A 의 푸리에 변환이 소수 거듭제곱 차수의 영점을 포함하면, A 의 원소들이 특정 초평면에 대해 균등하게 분포한다는 정리를 증명한다. 이를 이용해 ℤ_{p^m}×ℤ_{p^m} 에서 (p,0) 과 (0,p) 으로 생성된 부분군의 타일 보완인 A 에 대해 A 의 푸리에 영점 집합이 A 의 직교 회전 집합과 겹치지 않음을 보인다.

상세 분석

논문은 먼저 ℤₙ×ℤₙ 위의 집합 A 에 대한 푸리에 변환 (\widehat{1_A}) 의 영점 집합 (Z(\widehat{1_A})) 을 조사한다. 핵심 가정은 (x\in Z(\widehat{1_A})) 이며 (\operatorname{ord}(x)=p^{m}) 인 소수 거듭제곱 차수의 원소가 존재한다는 점이다. 저자는 (x=n/p^{m}\cdot h) (여기서 (\operatorname{ord}(h)=n)) 로 표현하고, (\omega=e^{2\pi i/p^{m}}) 를 도입해 (\widehat{1_A}(x)=\sum_{a\in A}\omega^{\langle a,h\rangle}) 를 다항식 형태로 본다. 영점 조건은 이 다항식이 (p^{m}) 차 사이클로토믹 다항식으로 나누어짐을 의미하고, 전개 과정에서 각 계수는 (A) 가 특정 (V(k)_x={y:\langle y,x\rangle\equiv k\pmod n}) 에 속하는 원소들의 개수와 직접 연결된다. 결과적으로
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