방사형 비용을 가진 발산 정규화 최적 수송의 표본 복잡도

초록

본 논문은 지수 꼬리 감소를 보이는 확률분포와 지역 리프시츠 조건을 만족하는 방사형 비용 함수에 대해, 발산(φ‑다이버전스) 정규화 최적 수송(ROT)의 표본 복잡도를 새롭게 분석한다. 결과는 차원에 대한 저주를 완화하고, 지원 집합의 일반화된 커버링 수를 통해 내재 차원을 반영한다. 주요 정리는 샘플 수 n에 대해 오차가 O(n^{-1/p}) 수준이며, 로그 항과 정규화 파라미터 ε, 꼬리 지수 α 등에 대한 명시적 의존성을 제공한다.

상세 분석

논문은 세 가지 핵심 가정을 전제로 한다. 첫째, μ와 ν가 각각 상수 c_μ, c_ν와 지수 꼬리 지수 α_μ, α_ν를 갖는 지수형 감소(예: 서브가우시안, 서브지수형) 특성을 가진다(Assumption 2.1). 둘째, 비용 함수 c(x,y)=h(‖x−y‖)가 연속 h와 함께 h(0)=0이며, h′가 t^{p−1} 형태의 로컬 리프시츠 상수 C_p를 만족한다(Assumption 2.2). 이는 |x−y|^p 형태를 포함한다. 셋째, φ‑다이버전스가 엄격히 볼록하고 φ′(1)=0, φ(∞)=∞을 만족하며, 그 쌍대 ψ가 C^1이며 ψ′와 ψ″가 적절히 성장(γ)하도록 제한한다(Assumption 2.3). 이러한 가정 하에 Theorem 2.5는 기대 오차 E|C_ε^μ_n,ν_n−C_ε^μ,ν|를 n^{-1/p}에 로그 항을 곱한 형태와, ε와 r_μ,n, r_ν,n(지수 꼬리와 차원에 의존) 및 최소 커버링 수 N_{B_{r},ε}를 결합한 복합 상수로 상한한다. 증명 전략은 (9)와 같이 μ,ν를 반경 B_{r} 안에 제한한 조건부 분포 μ_{B_r}, ν_{B_s}로 분해하고, 세 항을 각각 (i) 경계 외부 꼬리 기여, (ii) 제한된 지원 위에서의 ROT 차이, (iii) 제한된 지원과 원본 분포 사이의 비용 차이로 나누어 추정한다. 특히 (ii) 단계에서 Stromme(2024)의 방법을 확장해 비정규화된 비용 함수에도 적용 가능하도록 했으며, 커버링 수를 통해 내재 차원을 반영한다. 결과는 비용 함수가 비선형이거나 비정규화된 경우에도 동일한 차원 의존성을 유지함을 보여준다. 또한 상수 C는 α_μ, α_ν에 대해 지수적으로, p에 대해 지수적으로, C_p와 t_0에 대해 다항식적으로 의존한다는 점을 명시한다. 이는 꼬리가 빠를수록(α가 크고) 상수가 작아져, 사실상 컴팩트 지원 상황에 근접함을 의미한다.