스테이니츠 상수와 ‘거의 단위’ 벡터의 새로운 연결 고리

초록

본 논문은 임의의 노름에서 제로합 조건을 만족하지 않는 ‘거의 단위’ 벡터 집합에 대한 스테이니츠 상수 (S^{*}_{\varepsilon}(B))와 전통적인 스테이니츠 상수 (S(B)) 사이의 정량적 관계를 제시한다. 주요 결과는 모든 차원 (d\ge2)와 모든 대칭·비대칭 볼록체 (B)에 대해
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상세 분석

논문은 먼저 스테이니츠 상수 (S(B))와 그 완화형 (S^{*}(B))를 일반적인 비대칭 노름까지 확장한다. 여기서 (B\in K^{\circ}{d})는 원점을 내부에 포함하는 볼록체이며, (|x|{B})는 그에 대한 Minkowski 노름이다. 비대칭인 경우 비대칭도 (\rho(B)=\max_{v\in B}|{-v}|_{B}) 로 측정한다. 기존 문헌에 따르면 모든 (B)에 대해 (S(B)\le d)이며, 대칭인 경우는 (S(B)\le d-1+1/d) 로 더 강하다.

핵심 기여는 (\varepsilon)-제한 스테이니츠 상수 (S_{\varepsilon}(B)), (S^{*}_{\varepsilon}(B))를 도입하고, 이들와 기존 상수 사이의 상수배 관계를 정확히 추정한 것이다. 정의 6에 따르면, (\varepsilon)-스테이니츠 상수는 각 벡터의 노름이 (