확률 변동성 모델에서 최고값 적분가능성 연구

초록

본 논문은 확률 변동성 모델의 가격 과정에 대해 최고값의 기대값이 유한함을 보이는 새로운 방법을 제시한다. Doob L¹ 부등식과 측도 변환을 이용해 일반적인 거친 볼라테일 모델(특히 rough Bergomi) 및 선형 성장 조건을 만족하는 모델에 적용한다. 또한, 적분불가능한 최고값을 갖는 마팅게일 사례들을 조사하고, 엄격한 지역 마팅게일을 적절히 정지시켜 새로운 예시를 구성한다.

상세 분석

논문은 먼저 (1.1) E sup₀≤t≤T Sₜ < ∞ 라는 조건이 미국 옵션의 최적 행사가 존재에 필수적임을 강조한다. 기존에는 고차 모멘트 존재 여부를 확인해 Doob Lᵖ 부등식으로 (1.1)을 보였지만, 거친 변동성 모델에서는 모멘트가 존재하지 않을 수도 있다. 저자는 Doob L¹ 부등식의 강화 형태(Lemma 2.1)를 활용해, S가 균일 적분가능 마팅게일이면 sup의 기대값을 E ∫₀^τ ψ² ds 형태로 제한한다. 핵심은 측도 P′ 를 정의해 Girsanov 변환으로 새로운 브라운 운동 W′ 을 얻고, 이 아래에서 Y의 동역학을 (2.1)과 같이 표현한다. 정리 2.5는 “S τ가 균일 적분가능 마팅게일이면 sup₀≤t≤τ Sₜ의 기대값 ≤ c·(1 + E_{P′}∫₀^τ ψ² ds)”를 제시한다. 여기서 c = e/(e−1)이다. 이 결과는 τ를 임의의 정지시간으로 잡을 수 있어, T가 유한하거나 무한인 경우 모두 적용 가능하다.

다음으로 Corollary 2.6은 로컬 마팅게일 S에 대해 로컬라이징 시퀀스 (τₙ) 을 사용해, 각 τₙ∧T에 대해 위의 부등식을 적용하고 n→∞ 한계에서 sup의 기대값을 제어한다. 따라서 S가 실제 마팅게일이면 자동으로 (1.1)이 성립한다는 충분조건을 제공한다.

이론적 틀을 바탕으로 세 가지 모델군에 적용한다. 첫째, 다중 요인 rough Bergomi 모델(정의 3.1)에서는 ψ가 지수 형태이므로, ψ²를 적절히 상한화해 E_{P′}∫₀^T ψ² ds가 유한함을 보인다. 정리 3.2는 σ_S의 첫 m 성분과 L_i ν_i 사이의 부호 조건(σ_S^{(1:m)} L_i^⊤ ν_i ≤ 0)이 마팅게일성 및 sup 적분가능성의 필요충분조건임을 증명한다. 특히 표준 rough Bergomi 모델은 ρ≤0이면 sup이 적분가능함을 재확인한다.

둘째, 선형 성장 가정(Assumption 3.5)을 만족하는 모델에서는 ψ, µ, σ_Y 등이 시간·경로에 대해 선형적으로 제한되므로, ψ²의 적분 기대값이 K(t−s)·(1+sup|Y_s|)² 형태로 제어된다. 이 경우 Corollary 2.6을 직접 적용해 모든 T에 대해 sup의 기대값이 유한함을 얻는다(정리 3.6).

셋째, 다중 서명 변동성 모델(문헌