평면에서 분리된 격자에 대한 다중리프시츠 연장 및 다항식 상수 추정

초록

저자들은 2차원 정수 격자 ℤ² 또는 일반적인 분리된 넷 X 위에 정의된 L‑다중리프시츠 사상을 전체 평면 ℝ² 로 연장할 수 있음을 보이고, 연장 사상의 다중리프시츠 상수가 원래 사상의 L 에 대해 다항식 p(L) 으로 제한됨을 증명한다. 또한 분리 상수와 넷 상수에 대한 다항식 의존성을 명시한다. 이는 2015년 오버볼프하우스에서 제기된 나바스의 질문과 Alestalo‑Trotsenko‑Väisälä의 오래된 문제에 대한 2차원 해답이다.

상세 분석

이 논문은 평면 ℝ² 에서 분리된 넷(Delone 집합) 위에 정의된 다중리프시츠 사상을 전체 공간으로 연장하는 문제를 다루며, 특히 가장 기본적인 경우인 정수 격자 ℤ² 에 대한 해답을 제시한다. 기존에 알려진 Kirszbraun 정리는 Lipschitz 사상의 연장은 언제나 가능하지만, 다중리프시츠 사상은 위상학적 제약 때문에 연장이 불가능한 경우가 많다. 예를 들어, 원과 그 중심을 서로 다른 위치에 매핑하면 평면 전체에 연장할 수 없다는 간단한 반례가 있다. 따라서 “연장이 가능한가?”뿐 아니라 “연장 사상의 다중리프시츠 상수를 어떻게 제어할 수 있는가?”가 핵심 질문이 된다.

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