랭크 결함 선형 시스템의 최대 양성 불변 집합 계산

본 논문은 제어 시스템 설계 시 흔히 발생하는 폐쇄 루프 행렬의 영 고유값(랭크 결함) 문제를 중심으로, 최대 양성 불변(MPI) 집합의 정확하고 효율적인 계산 방법을 제시한다. 1. **배경 및 문제 정의** - MPC에서 터미널 집합으로 사용되는 MPI는 역방향 도달 가능성 절차 Ω₀=X, Ω_{k+1}=A◦^{-1}Ω_k∩X 로 정의되며, 충분히 큰 k에서 고정점 Φ_x에 수렴한다. - 전통적인 정적 피드백 K는 Riccati 방정식 해나 극점 배치에 의해 얻어지며, 이 과정에서 A◦=A+BK의 일부 고유값이 0이 될 수 있다. 영 고유값이 존재하면 A◦는 랭크가 감소하고, A◦^k 를 반복 적용할 때 매 단계마다 상태가 저차원 부분공간으로 투영된다. 이는 MPI 계산 시 집합이 급격히 변형되거나 수치적으로 불안정해지는 원인이다. 2. **수학적 전처리: Schur 분해** - 실수 Schur 분해 A◦=U S Uᵀ를 수행하고, S를 블록 형태