동적 모드 분해 기반 비선형 구조 모델 차원 축소

조각선형(piecewise‑linear, PWL) 비선형 구조는 균열이 열리고 닫히는 접촉 경계, 탄성 스톱, 부분 탈착 등 다양한 공학 현상에서 나타나며, 갑작스러운 강성 변화로 인해 복잡한 동적 현상(주기배, 혼돈 등)을 유발한다. 이러한 시스템에 대해 전통적인 선형 모드 해석은 적용이 어려워, 효율적인 비선형 모델 차원 축소(MOR) 방법이 요구된다. 저자는 데이터‑구동 접근법으로 동적 모드 분해(Dynamic Mode Decomposition, DMD)를 활용한 MOR 프레임워크를 제안한다. 먼저, 시스템에 임펄스 하중을 가해 시간 전후 스냅샷 행렬 X (현재 상태)와 Y (다음 시점 상태)를 구성한다. DMD는 Y = A X 라는 가정 하에 최소제곱 해를 통해 근사 선형 연산자 A 를 추정하고, SVD를 이용해 X 의 저차원 POD 서브스페이스 U 를 구한다. 이후 \tilde A = U^* Y V Σ^{-1} 를 계산하고, 그 고유값·고유벡터를 통해 DMD 모드 φ_i 와 고유값 μ_i 를 얻는다. 고유값의 로그를 시간 간격 Δt 으로 나누어 복소 주파수 s_i 를 구함으로써 각 모드의 진동수와 감쇠비를 직접 해석한다. 모드 선택 단계에서는 고유값의 크기 |μ_i| 를 기준으로 감쇠가 느린(큰 |μ_i|) 모드들을 우선 보존하고, 빠르게 감쇠하거나 잡음에 기인한 모드는 배제한다. 또한 샘플링 주파수를 변화시켜 동일 고유값이 재현되는지를 확인함으로써 안정성 다이어그램 개념을 적용한다. 이렇게 선정된 p 개의 DMD 모드 φ_i 를 열벡터로 모아 변환 행렬 Φ 를 구성한다. 원래의 방정식 M ·ü̈ + C·ü̈ + K u + f(u) = b(t) 에 Galerkin 투영을 적용하면, 축소 차원 p 에 대한 질량, 감쇠, 강성 행렬 \tilde M, \tilde C, \tilde K 와 외력 \tilde b 를 얻는다. 비선형 힘 f(u) 은 두 가지 방식으로 처리한다. 첫 번째는 전통적인 방식으로, 현재의 축소 좌표 η(t) 를 Φ η(t) 를 통해 전체 좌표 u(t) 로 복원하고, 전체 공간에서 f(u) 을 계산한 뒤 Φ^T 로 다시 투영한다. 이 방법은 정확하지만 매 시점마다 복원이 필요해 계산 비용이 크다. 두 번째는 제약 모드(Constraint Mode)를 추가하여 Φ 에 비선형 구간의 자유도를 직접 포함시키는 방법이다. 이렇게 하면 비선형 힘을 축소 공간에서 바로 \tilde f(η) 로 계산할 수 있어 연산량이 크게 감소한다. 논문은 두 가지 대표 사례에 제안 방법을 적용한다. 첫 번째는 끝에 탄성 스톱이 부착된 캔틸레버 빔이다. 임펄스 응답으로부터 스냅샷을 수집하고 DMD 모드만을 이용해 ROM을 구축한 뒤, 조화 하중에 대한 강제 응답을 전역 해석과 비교한다. 두 번째는 부분 탈착이 발생한 접착판 조립체이며, 여기서는 DMD 모드와 제약 모드를 결합한 혼합 기저를 사용한다. 두 경우 모두 주파수 응답 곡선, 진폭‑주파수 관계, 비선형 접촉 현상의 재현 정확도가 전역 해석과 거의 일치함을 보였다. 특히 제약 모드를 포함한 경우, 비선형 구간을 직접 접근함으로써 전체 좌표 복원 없이도 정확한 비선형 힘을 계산할 수 있어 계산 시간이 크게 단축되었다. 결론적으로, DMD는 비선형·비스무스 구조에서도 효과적인 기저 생성 도구가 될 수 있음을 실증하였다. 제약 모드와 결합한 혼합 기저 전략은 전통적인 전역 비선형 힘 계산의 부담을 크게 경감시키면서도 높은 정확도를 유지한다. 향후 대규모 비선형 구조 해석, 실험 기반 모델링, 실시간 제어 등에 적용 가능성이 크다.