점프 패턴의 소수열 열거와 변형

본 논문은 점프(저글링) 패턴을 수학적으로 모델링하는 데 사용되는 상태 그래프(state graph)를 기반으로, 기본적인 b‑ball 패턴뿐 아니라 멀티플렉스, 색상 구분, 패싱 등 다양한 변형에 대한 ‘프라임(소수) 패턴’을 체계적으로 열거한다. 1. **기본 모델 정의** - b 개의 공을 가진 상태는 정확히 b 개의 1을 포함하는 무한 이진 벡터 α=⟨α₁,α₂,…⟩ 로 정의한다. - 전이 규칙은 첫 번째 원소가 0이면 단순히 삭제하고, 1이면 삭제 후 0을 1로 바꾸는 방식이며, 이는 αᵢ₊₁ ≤ βᵢ (∀i)와 ∑αᵢ=∑βᵢ=b 라는 불변량을 만족한다. - 이러한 전이 관계는 기존의 f:ℤ→ℤ 퍼뮤테이션 모델과 동형이며, 폐쇄 워크가 길이 n 인 경우를 ‘주기적 패턴’이라 부른다. 2. **프라임 패턴 정의** - 폐쇄 워크가 n개의 서로 다른 상태를 방문하고 처음 상태로 돌아오는 경우를 ‘프라임 패턴’(prime pattern)이라 정의한다. 이는 모든 주기적 패턴이 프라임 패턴들의 연결(합성)으로 표현될 수 있음을 의미한다. 3. **cₜ(n) 함수와 기본 결과** - 기존 연구