양자 회로 출력 분포 오류 완화를 위한 순환형 파울리 노이즈 구조

초록

본 논문은 파울리 채널 형태의 복합 노이즈가 존재할 때 양자 회로의 출력 확률 분포와 이상적인 분포가 XOR 컨볼루션으로 연결된다는 사실을 이용한다. 노이즈 벡터를 한 번의 논리 회로 샘플링으로 추정하고, 빠른 Walsh‑Hadamard 변환(FWHT)을 통해 노이즈를 역보정함으로써 전체 양자 오버헤드를 두 회로 실행으로 제한한다. 30‑qubit GHZ 상태와 여러 양자 알고리즘 실험에서 원시 충실도가 23 % 수준이었으나, DEM 적용 후 97.7 %까지 회복되는 등 뛰어난 성능을 보인다.

상세 분석

이 연구는 파울리 채널이 양자 회로 전반에 걸쳐 작용한다는 전제 하에, 이상적인 출력 확률 벡터 x와 실제 측정된 확률 벡터 z 사이의 관계를 선형 확률 행렬 A로 모델링한다. A는 2ⁿ × 2ⁿ 차원의 행렬이지만, 파울리 연산이 XOR 연산과 동형임을 이용해 A가 재귀적인 2 × 2 블록 순환(block‑circulant) 구조를 갖는다는 점을 증명한다. 이러한 구조는 Walsh‑Hadamard 변환에 의해 대각화될 수 있으므로, A·x = z 식을 직접 행렬 역연산 O(2³ⁿ) 없이 O(2ⁿ log 2ⁿ) 복잡도로 풀 수 있다. 핵심은 첫 번째 열 a(=noise vector)를 정확히 추정하는 것이다. 저자들은 “노이즈 추정 회로(NEC)”를 설계해, 원본 회로에서 SX(√X) 게이트를 X 게이트로 교체함으로써 초기에 중첩을 만들지 않는 회로를 만든다. 이 회로는 이론적으로는 고전적으로 계산 가능한 단일 기준 상태 |k⟩를 출력하므로, 측정된 확률 분포 b를 통해 a를 a = Pₓ b (여기서 Pₓ는 X‑스트링) 로 복원한다. 즉, 하나의 논리 회로 샘플링만으로 a를 얻을 수 있다.

DEM 적용 절차는 크게 두 단계로 나뉜다. 첫째, NEC를 실행해 a를 추정한다(샷 수는 일반 회로와 동일하게 제한). 둘째, 원본 회로에서 얻은 z에 대해 FWHT를 수행하고, a의 FWHT와 원소별 나눗셈을 한 뒤 역 FWHT를 적용한다. 이 과정은 “Fast Walsh‑Hadamard Transform 기반 오류 역보정”이라고 부를 수 있다. a의 일부 원소가 0인 경우는 의사역(pseudo‑inverse) 처리를 통해 해당 출력 확률을 0으로 설정한다.

실제 하드웨어에서의 적용을 위해 저자들은 두 가지 확장 기법을 제시한다. 첫 번째는 압축(Compression) 방식으로, 이상적인 분포 x의 지원 집합 Sₓ가 실제 측정된 지원 집합 S_z에 포함된다고 가정하고, 해당 부분 행렬 A_S만을 추출해 작은 차원에서 직접 역연산한다. 두 번째는 “바이닝(Binning) 휴리스틱”으로, 지원 집합을 2의 거듭제곱 크기로 패딩하고 인덱스를 재배열해 XOR 컨볼루션 형태를 유지하도록 만든 뒤, 동일한 FWHT 절차를 적용한다. 이 두 방법은 메모리와 연산량을 크게 절감하면서도 충분히 정확한 보정을 제공한다.

오차 분석에서는 샷 노이즈와 a 추정 오차가 최종 보정된 분포에 미치는 영향을 정량화한다. 측정 오류 보정 모델 M_exp = Λ M_ideal + Δ와 유사하게, A를 Λ, Δ를 모델링 오류로 해석해 기존 측정 오류 보정 이론을 그대로 적용한다. 따라서 샷 수가 충분히 크면, 보정된 기대값은 원본 기대값에 근접하고, 전체 변동 거리는 O(1/√M) 수준으로 감소한다.

실험 결과는 20‑qubit 및 30‑qubit GHZ 상태 준비, 5‑qubit Grover, 6‑/10‑qubit 양자 위상 추정, 10‑/20‑qubit Dicke(1) 상태 준비 등 다양한 회로에 대해 수행되었다. 특히 30‑qubit GHZ 회로에서 원시 충실도 23.2 %가 DEM 후 97.7 %로 상승했으며, 5‑qubit Grover 회로에서도 10.2 % → 74.9 % 로 크게 개선되었다. 이러한 성과는 파울리 노이즈 가정과 랜덤화 컴파일링을 통한 채널 편향이 실제 하드웨어에서도 충분히 유효함을 보여준다.

전체적으로 본 논문은 파울리 노이즈의 구조적 특성을 활용해 확률 분포 수준에서 오류를 효율적으로 보정하는 새로운 프레임워크를 제시한다. 기존의 기대값 기반 오류 완화와 달리 전체 출력 분포를 복구함으로써, 후처리 단계에서 다양한 관측값을 자유롭게 재활용할 수 있다. 또한, 필요 샷 수와 회로 실행 횟수가 최소화되어 현재 NISQ 디바이스에 실용적인 오류 완화 기법으로 자리매김할 가능성이 높다.