유동성 풀을 평균장 게임으로 모델링하는 새로운 프레임워크

초록

본 논문은 탈중앙화 금융(DeFi)에서 널리 사용되는 상수곱 자동시장조성자(AMM)를 평균장 게임(MFG)의 확률적 약형식으로 모델링한다. 트레이더들의 거래율을 제어 변수로 두고, 풀의 잔고와 가격을 상태 변수로 설정해 연속시간 확률 미분 방정식으로 기술한다. 저자는 MFG 해의 존재성을 증명하고, 이를 기반으로 유한 플레이어 게임의 근사 내시 균형(approximate Nash equilibrium)을 구성한다. 또한 수치 실험을 통해 모델의 실용성을 확인한다.

상세 분석

본 연구는 기존의 주문서 기반 가격 충격 모델을 AMM 환경에 확장함으로써, 평균장 게임 이론을 DeFi에 적용한 최초 사례 중 하나로 평가된다. 주요 기여는 다음과 같다. 첫째, 트레이더 i의 ETH 재고 Xᵢₜ와 USDC 재고 Yᵢₜ를 각각 dXᵢₜ = αᵢₜ dt + σᵢ dWᵢₜ, dYᵢₜ = −(αᵢₜ Pₜ + cₚ(αᵢₜ))dt 로 기술하고, 여기서 αᵢₜ는 거래율(제어 변수)이며, Pₜ는 풀의 현재 가격을 Pₜ = Yₜ / Xₜ = k / Xₜ² 로 정의한다. 상수곱 관계 k = XₜYₜ는 풀의 무손실 성질을 보장한다. 둘째, 전체 포트폴리오 가치 Vᵢₜ = Yᵢₜ + Xᵢₜ Pₜ 를 Ito 보조정 후 dVᵢₜ =