두 페이지 분할 유향 그래프의 위쪽 책 임베딩

본 논문은 1999년 Heath·Pemmaraju·Trenk이 제안한 위쪽 책 임베딩(upward book embedding) 개념을 확장하여, 분할된 유향 그래프(partitioned digraph)의 두 페이지(k=2) 임베딩 문제를 심도 있게 분석한다. 위쪽 책 임베딩은 정점이 스파인(spine) 상에 위쪽 순서(topological order)대로 배치되고, 각 페이지에 배정된 간선들이 서로 교차하지 않아야 하는 제약을 가진다. 기존 연구에서는 k=1인 경우가 선형시간에 해결 가능하고, k≥3인 경우가 NP‑complete임이 알려졌으며, k=2에 대해서는 아직 복잡도 결과가 공백이었다. 저자들은 먼저 위쪽 임베딩이 두 페이지에 배치될 수 있는 구조적 특성을 정의한다. 이를 위해 그래프의 각 정점 주변에 존재하는 각(angle)을 ‘스위치(switch)’, ‘플랫(flat)’, ‘빅(big)’ 세 종류로 구분하고, 각 각에 -1, 0, +1 라벨을 부여하는 각 할당 함수 λ:AE→{-1,0,1}를 도입한다. 두 가지 일관성 조건(C1: 플랫 각은 반드시 0, C2: 각 정점에서 입·출 차수에 따라 라벨 합이 0)만 만족하면, 해당 위쪽 임베딩은 두 페이지에 나눌 수 있다는 정리를 증명한다. 이 정리는 기존의 교차 방지 조건을 로컬한 각 라벨 제약으로 변환함으로써, 전역적인 페이지 배치를 효율적으로 검증할 수 있게 한다. 이 구조적 특성을 바탕으로, 저자들은 k=2 경우가 NP‑complete임을 보인다. 논증은 3‑SAT 인스턴스를 그래프 형태로 변환하는 전통적인 가젯(gadget) 기법을 사용한다. 변수 가젯과 절 가젯을 각각 두 페이지에 배정하도록 설계하고, 각 가젯 내부에 위쪽‑일관성 각 할당이 만족될 때만 위쪽 순서가 유지되도록 만든다. 따라서 위쪽 책 임베딩 존재 여부와 SAT 만족 여부가 동치가 되며, NP‑hardness를 확보한다. 또한, 이 변환은 트리폭(treewidth)을 크게 늘리지 않으므로, 문제는 트리폭에 대해 W