연속근사 기반 대중교통망 설계의 전역 최적화: 기하학적 프로그래밍 접근

본 연구는 연속근사(Continuous Approximation, CA) 모델을 활용한 대중교통망 설계 문제를 전역 최적화 가능한 형태로 변환하는 새로운 방법론을 제시한다. 기존 CA 기반 연구들은 비선형 비볼록(NLP) 형태로 모델링되어, gradient descent, coordinate descent, fmincon 등 일차 최적조건에 의존하는 알고리즘으로 해결해 왔다. 이러한 접근법은 초기값에 민감하고 지역 최적에 머물 위험이 있어, 복잡하고 이질적인 수요 환경에서 신뢰할 수 있는 해를 제공하지 못한다는 한계가 있었다. 논문은 먼저 전통적인 CA 모델을 상세히 정리한다. 연구 영역을 정사각형 도시 R(한 변의 길이 |R|)로 가정하고, 네 방향(E, W, N, S)의 선밀도 δ_i(x,y)와 서비스 헤드웨이 h_i(x,y)를 결정변수로 설정한다. 차량 흐름 q_i(x,y)=δ_i·h_i 로 정의하고, 승객 수요 λ_i(x_o,y_o,x_d,y_d) 를 승차·하차·탑승·환승 밀도로 집계한다. 목표함수 Z는 기관비용 Z_A와 승객비용 Z_P 로 구성되며, 각각 인프라 길이, 정류장 수, 차량 주행 거리·시간, 그리고 접근·대기·차내·환승 시간을 포함한다. 비용은 시간당 가치(μ)와 보행 시간 가중치(β_w), 환승 페널티(σ) 등으로 가중한다. 제약식은 각 방향·위치에서 승객 흐름이 차량 용량 C 를 초과하지 않도록 하는 용량 제한과, 변수의 양성(δ_i>0, h_i>0) 조건이다. 다음으로 네트워크 유형에 따라 모델을 특수화한다. 동질 네트워크에서는 δ와 h가 공간 전체에 상수이며, 이질 네트워크에서는 선 방향에 수직인 축(y 또는 x)만을 따라 변하도록 가정한다. 이를 통해 적분을 수행해 목표함수와 제약식을 1차원 형태로 축소한다. 예를 들어, 이질 네트워크에서는 δ_EW(y), δ_NS(x), h_EW(y), h_NS(x) 를 새로운 결정변수로 두고, 차량 흐름 q_EW(y)=δ_EW·h_EW 등으로 표현한다. 동질 경우에는 동일한 변수들을 전역 상수로 처리한다. 핵심 기여는 이러한 CA 모델이 포지폴리오(posynomial) 구조를 가지고 있음을 발견하고, 이를 기하학적 프로그래밍(GP) 표준형으로 변환한다는 점이다. GP는 monomial(단항식)과 posynomial(다항식)으로 구성된 목적함수와 부등식 제약을 로그 변환을 통해 선형 형태의 convex 문제로 바꾸어, interior‑point 알고리즘으로 다항식 시간 내에 전역 최적해를 구한다. 변환 과정에서 변수는 지수 형태로 치환되고, 모든 계수는 양수이므로 GP 적용에 필요한 조건을 만족한다. 실험 설계는 두 가지 네트워크(동질·이질)를 대상으로, 6가지 이질 수요 분포, 4단계 총수요, 3가지 VOT 값을 조합해 72개의 시나리오를 만든다. 비교 알고리즘은 좌표하강법(CD)과 MATLAB fmincon 기반의 NLP이다. 결과는 다음과 같다. 1. **성능 우위**: GP는 모든 시나리오에서 CD보다 평균 1‑4% 낮은 총비용을 달성했으며, 초기값에 관계없이 동일한 최적해를 찾아 안정성을 입증했다. 2. **고수요·고이질 상황**: 수요가 크게 증가하고 수요 분포가 이질적일수록 fmincon의 수렴이 불안정해졌으며, 종종 지역 최적에 머물거나 최적화가 중단되었다. 반면 GP는 언제나 전역 최적해를 제공했다. 3. **계산 효율성**: GP는 interior‑point 방법을 사용해 수십 초 내에 해를 구했으며, CD와 비교해 반복 횟수가 크게 감소했다. fmincon은 경우에 따라 수백 초 이상 소요되었다. 논문은 이러한 결과를 바탕으로, CA 기반 대중교통망 설계에 GP가 제공하는 전역 최적성, 계산 효율성, 그리고 복잡한 수요·운영 파라미터를 동시에 다룰 수 있는 확장성을 강조한다. 또한, GP 적용이 가능한 다른 교통·물류 연속근사 모델에도 적용 가능함을 시사하며, 향후 연구 방향으로 다중 목적 최적화, 실시간 수요 변동 반영, 그리고 정류장·노선 설계와 같은 이산적 요소와의 통합을 제안한다.