이와 피트만 모델의 중심극한정리: 퀜치드 함수형 CLT와 두 단계 변동 분석

본 논문은 \((\alpha,\theta)\) 파라미터를 갖는 중국 레스토랑 과정이 생성하는 교환가능 파티션, 즉 Ewens–Pitman 모델에 대해 구성요소 수 \(K_n\)의 확률적 거동을 심층적으로 분석한다. 연구의 출발점은 \(K_n\)가 두 가지 독립적인 변동 원천을 가진다는 사실이다. 첫 번째는 주어진 asymptotic frequency \((P_j)_{j\ge1}\)가 고정된 상황에서 표본을 추출함에 따라 발생하는 “샘플링 변동”이며, 두 번째는 \((P_j)\) 자체가 무작위 변수라는 점에서 비롯되는 “빈도 변동”이다. 기존 문헌에서는 각각을 별도로 다루어 왔으며, Karlin(1967)의 무한 urn 모델을 이용한 샘플링 변동에 대한 CLT와 Bercu–Favaro(2024)의 전체 평균 중심화에 대한 CLT가 대표적이다. 그러나 두 변동을 동시에 고려한 공동 수렴 결과는 부재했다. 논문은 먼저 Ewens–Pitman 파티션을 무한 urn 모델에 대응시키는 전통적인 접근법을 재확인한다. 여기서 \((P_j)\)는 Poisson–Dirichlet 분포 \(\operatorname{PD}(\alpha,\theta)\)를 따르며, 감소 순서 \((P_{\downarrow j})\)는 꼬리 지수가 \(-1/\alpha\)인 다항식 감소를 보인다. Lemma 2.1에서는 \(\Gamma_j:=S_\alpha\Gamma(1-\alpha)P_{\downarrow j}^{-\alpha}\)를 정의하고, \(\theta=0\)일 때 \((\Gamma_j)\)가 표준 포아송 과정의 도착시간이라는 사실을 이용한다. \(\theta\neq0\)인 경우에도 절대 연속적인 변환을 통해 동일한 구조를 유지한다는 점을 강조한다. 다음으로, 저자는 \(K_n\)를 두 부분으로 분해한다. \