피터슨 그래프를 이용한 6정규 무한 비케이리 그래프 군

** 본 논문은 피터슨 그래프의 3‑정규성과 10개의 정점을 출발점으로, n개의 복제본을 n‑사이클 전치 σ=(1 2 … n)와 결합해 새로운 6‑정규 그래프 군 {Gₙ}을 정의한다. 구체적인 구성은 다음과 같다. 먼저 피터슨 그래프 P의 정점 집합 V(P)={0,…,9}에 방향성을 부여해 메타‑그래프 ~P를 만든다. ~P의 방향은 각 정점이 정확히 3개의 출입 차수를 갖도록 설계되어, out(v)+in(v)=3을 만족한다. 그런 다음 n개의 복제 C₁,…,Cₙ을 만들고, 내부 간선은 원본 피터슨 그래프와 동일하게 유지한다. 크로스‑와이어는 ~P의 각 방향 간선 (u→v)에 대해 (i,u)와 (σ(i),v)를 연결함으로써 구현한다. 이 과정은 모든 i∈{1,…,n}에 대해 반복되며, 결과 그래프 Gₙ은 무향 그래프이지만 각 정점이 정확히 3개의 내부 이웃과 3개의 크로스 이웃을 갖게 된다. 따라서 Gₙ은 6‑정규이며, 정점 수는 10n, 간선 수는 30n이 된다. 정리 3.3에서는 girth와 직경을 분석한다. 피터슨 그래프 자체는 삼각형이 없고 girth=5이지만, 크로스‑와이어가 추가되면서 (i,u)→(i+1,v)→(i+1,u)→(i,v)→(i,u) 형태의 4‑사이클이 생겨 girth=4가 된다. 직경은 내부 피터슨 그래프의 직경 2와 레이어 사이의 순환 거리 ⌊n/2⌋를 합해 ⌊n/2⌋+2가 된다. 이는 n이 커질수록 그래프가 원통형 구조를 띠며, 최악의 경우에도 두 레이어 사이를 최소한 ⌊n/2⌋번 이동해야 함을 의미한다. 대칭성 측면에서는 자동동형군 Aut(Gₙ)이 D₅ₙ, 즉 차수 10n인 이십각형(dihedral) 군임을 증명한다. 레이어 순환 ρ와 반사 τ가 생성하는 군이 전체 그래프의 모든 구조를 보존한다. 특히 ρ는 (i,x)↦(i+1 mod n, x)로 레이어를 순환시키고, τ는 레이어 순서를 뒤집으며 메타‑그래프의 방향을 반전시키는 정점 전치 π와 결합한다. 이 두 변환은 서로 독립적이며, 그 조합은 정확히 D₅ₙ을 형성한다. 자동동형군은 두 개의 궤도 O₁={i+x 짝수}, O₂={i+x 홀수}에 각각 5n개의 정점을 균등하게 배분한다. 이러한 구조는 Gₙ이 비‑케이리 그래프(bi‑Cayley graph)임을 보이며, D₅ₙ 위의 두 코셋이 정점 집합을 이루는 형태로 해석될 수 있다. 스펙트럼 분석에서는 SageMath를 이용해 G₃부터 G₇까지의 고유값을 정확히 계산하였다. 6‑정규 그래프의 라마누잔 경계는 2√5≈4.4721이다. G₃와 G₄의 두 번째 고유값 |λ₂|는 각각 2.8013, 4.0776으로 경계 이하이므로 라마누잔 그래프이다. 그러나 n이 5 이상으로 증가하면 |λ₂|가 4.4721을 초과해 라마누잔 성질을 잃는다. 이는 스펙트럴 갭(6−|λ₂|)이 n에 따라 감소함을 의미한다. Cheeger 부등식을 적용하면, G₃의 하한은 약 1.599, G₇에서는 0.333으로 감소한다. 즉, 그래프가 커질수록 확장성은 약해지지만, 여전히 일정 수준의 혼합 속도를 유지한다. 응용 가능성에 대해서는 암호학적 활용을 제시한다. 라마누잔 그래프는 기존에 해시 함수 설계와 isogeny‑기반 키 교환에 사용되었으며, Gₙ 군은 명시적이고 확장 가능한 구조, 그리고 D₅ₙ이라는 대수적 대칭을 제공한다. 이는 다음과 같은 장점을 가진다. (1) 스케일러빌리티: n을 크게 잡아 10⁶ 수준의 정점 수를 손쉽게 얻을 수 있다. (2) 결정성: 무작위 정규 그래프와 달리 완전히 명시적인 생성법을 제공한다. (3) 그룹 구조 활용: 자동동형군을 이용해 효율적인 라우팅·인코딩이 가능하거나, 반대로 구조적 취약점이 없는지 검증할 필요가 있다. (4) 제어 가능한 파라미터: 정규도 6, girth 4, 직경 ⌊n/2⌋+2 등 그래프 특성이 명확히 정의돼 있다. 이러한 특성은 Cayley 해시, isogeny‑영감 프로토콜, 영지식 증명 등 다양한 암호학적 설계에 적용 가능성을 시사한다. 비록 큰 n에서는 라마누잔 최적성을 상실하지만, ‘거의 라마누잔’ 성질이 유지돼 빠른 혼합과 네트워크 병목 방지에 유리하다. 마지막으로, 저자는 Gₙ의 데이터와 SageMath 스크립트를 공개 저장소에 제공하고, House of Graphs 데이터베이스에 G₃~G₇을 각각 56324–56328번으로 등록하였다. 이는 재현 가능성을 높이고, 후속 연구자들이 추가적인 대수적·조합적 특성을 탐구하거나, 응용 분야에 맞는 변형을 설계하는 데 기반이 된다. **