부분 가환 모노이드로 등급화된 모노이달 범주

본 논문은 효과ful 프로그래밍 언어의 의미론을 범주론적으로 재구성하기 위해, “부분 가환 모노이드(PCM)로 등급화된 모노이달 범주”라는 새로운 구조를 도입한다. 서론에서는 효과ful 카테고리와 프리모노이달 카테고리의 기존 정의를 복습하고, 순수 연산은 독립적으로 병렬화가 가능하지만 효과ful 연산은 중앙(central) 연산과만 텐서곱이 정의된다는 점을 강조한다. 이러한 관찰에서 영감을 받아, 사상마다 등급을 부여하고 등급의 부분합이 정의될 때만 텐서곱을 허용하는 구조를 제안한다. 2장에서는 PCM의 형식적 정의와 기본 성질을 정리한다. ⊕ 연산이 부분적으로만 정의되는 이유를 “자원 충돌” 혹은 “비간섭” 상황으로 해석한다. 전통적인 전순서(preorder)인 확장 전순서 ≤는 a≤b ⇔ ∃c·a⊕c=b 로 정의되며, 이는 등급 a가 b보다 “덜 사용”함을 의미한다. 또한 분리 대수(separation algebra)와 효과 대수(effect algebra) 같은 특수한 PCM을 소개한다. 분리 대수는 취소법칙을 만족해 등급 간의 비교가 유일하게 결정되며, 효과 대수는 상한 1을 갖는다. 3장에서는 PCM‑graded 모노이달 범주의 핵심 정의를 제시한다. 객체 집합은 하나이며, 각 등급 a∈E마다 동형사상 집합 C_a(X;Y)를 가진 범주 C_a를 둔다. 등급 a≤b에 대해 재등급 사상 (−)^b_a:C_a→C_b 가 존재하고, 텐서곱 (⊗)_{a,b}:C_a×C_b→C_{a⊕b} 가 a⊕b가 정의될 때만 존재한다. 주요 공리로는 재등급의 정체성, 텐서곱의 단위·결합성, 그리고 텐서곱과 순수 합성 사이의 상호작용(Inter) 등이 있다. 이 정의는 기존 모노이달·프리모노이달 구조를 포함한다. 예시를 통해 구체성을 확인한다. 1‑graded 경우는 전통적 엄격 모노이달 범주와 동형이다. 2‑graded 경우는 두 범주 C_0(순수)와 C_1(효과ful)와 재등급 사상 (−)^1_0을 갖으며, 이는 기존의 효과ful 카테고리와 정확히 일치한다. 멱집합 PCM P(D)에서는 사상이 사용하는 자원 집합 S⊆D 로 등급이 매겨지고, 두 사상이 겹치는 자원을 공유하면 텐서곱이 정의되지 않는다. 이는 비간섭 병렬성을 모델링한다. 구간 PCM