다중 자기유사성을 보이는 변형 호프스태터 Q 재귀

본 연구는 Hofstadter Q‑수열에 교대 부호를 추가한 변형 재귀 Q(n)=Q(n−Q(n−1))+Q(n−Q(n−2))+(-1)^n (초기값 Q(1)=Q(2)=1) 을 대상으로 한다. 첫 번째 절에서는 정의와 기본 성질을 정리한다. Lemma 1 은 모든 항이 홀수임을 보이며, 이는 재귀식에 포함된 (-1)^n 항이 짝수와 홀수를 교대로 보정하기 때문이다. 안전 여유 S(n)=n−max(Q(n−1),Q(n−2)) 를 도입해 재귀가 언제 사망하는지를 판단했으며, 실험적으로 S(n)≈n/2 로 크게 유지되어 3·10¹⁰ 단계까지 정의가 유지됨을 확인한다. 두 번째 절에서는 차분열 D(n)=Q(n+1)−Q(n) 를 분석한다. D(n) 은 짝수이며 0, ±2, ±4 등 제한된 값만을 순환한다. 이는 Q(n) 의 전반적인 선형 성장과 작은 진동을 동시에 설명한다. Q(n)≈n/2 라는 가정 하에, 잔차 E(n)=Q(n)−n/2 를 도입하면 재귀식은 E(n)≈E(⌊n/2⌋)+상수 형태로 근사화된다. 여기서 ⌊n/2⌋ 로의 축소는 dyadic renormalization 을 의미한다. 로그 스케일 x=log₂ n 로 변환하면 G(x)=E(2^x) 가 G(x)≈G(x−1) 을 만족하므로, G는 주기 1에 가까운 거의 주기성을 가진다. 따라서 E(n) 은 로그 스케일에서 파동형태를 보이며, 이는 Figure 4 의 dyadic fluctuation profile 로 시각화된다. 세 번째 절에서는 인덱스 과정 t₁(n)=n−Q(n−1), t₂(n)=n−Q(n−2) 를 도입한다. 두 식 모두 n/2 근처에서 작은 편차만을 가지며, 이 편차는 E(n−1), E(n−2) 로 표현된다. 따라서 재귀는 매 단계마다 규모 n/2 에서 생성된 정보를 규모 n 으로 전달한다는 해석이 가능해진다. 이 과정은 완전히 대칭적이지 않으며, 두 인덱스가 서로 다른 교대 부호에 의해 미세하게 차이가 난다. 이를 정량화한 진단량 R(n)=Q(2n)−2Q(n) 은 짝수 n 에서는 큰 진동을, 홀수 n 에서는 거의 0에 가까운 값을 보인다. 이러한 현상은 “parity‑split dyadic renormalization” 이라는 새로운 메커니즘을 제시한다. 네 번째 절에서는 값들의 빈도 분포 F(m)=|{n:Q(n)=2m−1}| 를 조사한다. 블록 B_k={2^k,…,2^{k+1}−1} 안에서 F(m) 가 기하급수적으로 감소하고, 가장 큰 빈도 위치 m_k 가 m_k≈(4/3)·2^k 를 만족한다는 경험적 스케일 관계가 발견된다. 이는 기존 메타‑피보나치 수열들의 빈도 구조와 유사하지만, 교대 부호에 의해 새로운 dyadic 법칙이 부여된 것으로 해석된다. 다섯 번째 절에서는 초기 조건 (Q(1),Q(2),Q(3))∈{1,2,3}³ 를 전부 탐색한다. 대부분의 초기값은 재귀가 빠르게 종료되지만, 소수의 경우는 장기간 살아남아 앞서 논의한 dyadic 구조와 parity‑split 메커니즘을 보인다. 초기값에 따른 클래스 분류 결과, 전역 성장 법칙 Q(n)≈n/2 은 변하지 않으며, 차이는 잔차 E(n) 의 미세한 형태에 국한된다. 이는 초기 조건이 전체적인 선형 성장에 영향을 주지 않지만, 세부적인 자기유사 패턴을 조정한다는 의미다. 마지막 절에서는 주요 결과를 정리하고, 다음과 같은 몇 가지 추측과 열린 문제를 제시한다. (1) Q(n)=n/2+E(n) 에서 E(n) 은 로그 스케일에서 거의 주기적인 함수인지, 정확한 형태는 무엇인가? (2) R(n) 의 짝·홀수 패턴을 정량적으로 설명할 수 있는 엄밀한 재규격화 방정식이 존재하는가? (3) 빈도 법칙 F(m) 의 기하급수적 감소와 m_k≈(4/3)·2^k 관계를 증명할 수 있는 조합론적 모델이 있는가? (4) 다른 교대 부호 혹은 상수 항을 추가했을 때 동일한 dyadic 자기유사성이 유지되는지 여부. 이러한 질문들은 변형 Hofstadter 재귀의 구조적 이해를 심화시키는 데 중요한 출발점이 될 것이다.