연속 Aperture 배열 빔포밍을 위한 암시적 신경 표현과 함수형 WMMSE 설계

본 논문은 연속 Aperture 배열(CAPA)을 이용한 차세대 무선 통신 시스템에서 다중 사용자·다중 CAPA 환경의 빔포밍 문제를 다룬다. 전통적인 이산 안테나 기반 MIMO는 하드웨어 비용·전력 소모와 배열 크기 제한이라는 두 가지 근본적인 제약에 직면해 있다. CAPA는 무한히 많은 복사소자를 가정함으로써 이러한 제약을 해소하고, 빔포밍 설계를 연속 전류 분포 함수로 전환한다. 그러나 연속 함수 최적화는 무한 차원의 함수 공간을 탐색해야 하므로 기존 수치 최적화 기법으로는 실시간 적용이 어렵다. 저자는 먼저 다중 사용자·다중 CAPA 시스템에서 달성 가능한 합률의 폐쇄형 식을 유도한다. 시스템 모델은 BS와 K개의 사용자 모두가 직사각형 CAPA를 가지고, 각 점에서 전류 분포 v_k(s)와 채널 커널 h_k(r,s)를 정의한다. 채널 커널은 LOS 조건 하에 전자기학적 파라미터(극성, 고유 임피던스, 파장 등)를 포함한 식으로 표현된다. 이를 바탕으로 각 사용자에 대한 수신 신호를 적분 형태로 기술하고, 역 커널 정의와 Dirac 델타 함수를 이용해 합률을 로그-행렬식 형태로 정리한다. 이 식은 (5)–(6)에 제시된대로, 각 사용자의 신호-대-간섭+노이즈 행렬 Q_k를 명시적으로 나타낸다. 합률 최대화 문제는 전류 예산 제약(C_max) 아래에서 (7)식으로 정의된다. 직접 해결하기보다는, 가중 최소 평균제곱오차(WMMSE) 프레임워크로 변환한다. 수신 결합 함수 u_k(r)를 도입해 MSE 행렬 E_k를 (9)식으로 전개하고, 가중 행렬 W_k를 도입해 최적화 목표를 Tr(W_k E_k) - log det(W_k) 형태로 만든다(11). 이때 W_k는 반정정 행렬이며, 최적해는 WMMSE와 합률 문제 사이에 1:1 대응이 있음을 Lemma와 Proposition을 통해 증명한다. 연속 함수를 직접 다루는 대신, 완전 직교 기저 β(s)와 α_k(r)를 각각 BS와 사용자 CAPA 위에 정의한다. 무한 차원의 기저를 사용해 빔포밍 함수 v_k(s)와 결합 함수 u_k(r)를 각각 계수 행렬 V_k와 U_k로 전개한다(15,18). 채널 커널 h_k(r,s) 역시 α_k(r)·H_k·β^H(s) 형태로 기저 전개가 가능하다(20). 이렇게 하면 원래의 함수형 최적화는 계수 행렬 V_k, U_k, U_k, W_k에 대한 유한 차원 최적화 문제로 변환된다. 함수형 WMMSE 알고리즘은 다음과 같은 순환 업데이트를 수행한다. (i) 현재 V_k를 이용해 a_kj(r) = ∫_SB h_k(r,s) v_j(s) ds 를 계산하고, 이를 α_k(r)·H_k·V_j 형태로 표현한다. (ii) 역 커널 J̄_k(r1,r2) = Σ_j a_kj(r1) a_kj^H(r2) + σ_n^2 δ(r1−r2) 를 정의하고, Lemma 1의 함수형 Woodbury 항등식을 적용해 J̄_k^{-1}를 효율적으로 구한다. (iii) 가중 행렬 W_k와 결합 행렬 U_k를 각각 WMMSE 최적조건 W_k = E_k^{-1}, U_k = (Σ_j a_kj V_j) W_k 로 업데이트한다. (iv) 최종적으로 V_k를 V_k = (∫_SU α_k^H(r) J̄_k^{-1}(r,r') a_kk(r') dr dr')^{-1}·... 형태로 갱신한다. 이 과정을 수렴할 때까지 반복한다. 알고리즘은 각 반복마다 고차원 적분과 행렬 역연산을 필요로 하므로 온라인 복잡도가 매우 높다. 이러한 복잡성을 해소하고 일반화 능력을 향상시키기 위해, 저자는 최적 정책이 순열-동등성(PE) 특성을 가진다는 점에 주목한다. 즉, 사용자 순서가 바뀌어도 최적 빔포밍 함수는 구조적으로 동일하다. 이를 그래프 신경망(GNN)으로 모델링하면, 각 사용자 노드가 동일한 파라미터 집합을 공유하면서 메시지 전달을 통해 상호 간섭 정보를 교환할 수 있다. BeamINR은 이러한 GNN 구조에 함수형 WMMSE의 업데이트식을 그대로 반영하도록 설계되었다. 구체적으로, 각 GNN 레이어는 현재 V_k를 입력받아 H_k·V_k와 가중 행렬을 이용해 새로운 V_k를 계산하고, 이를 다시 β(s)·V_k 형태로 복원한다. 이 과정에서 메시지 전달은 Σ_j a_kj V_j 형태의 간섭 합을 구현하며, 가중 행렬 W_k와 결합 행렬 U_k는 레이어 내부에서 자동 미분을 통해 학습된다. 시뮬레이션에서는 (1) 함수형 WMMSE가 최고 합률을 달성하지만 평균 추론 시간과 메모리 사용량이 크게 증가함을 확인했다. (2) 기존 FNN 기반 INR는 학습 속도가 느리고, 사용자 수·주파수 변화에 대한 일반화가 제한적이었다. (3) BeamINR은 추론 지연을 약 70% 감소시키고, 학습 복잡도를 50% 이하로 줄였으며, 사용자 수와 캐리어 주파수가 변해도 성능 저하가 미미한 일반화 능력을 보였다. 이는 GNN이 PE를 활용해 파라미터 공유를 효율화하고, 함수형 WMMSE 구조를 그대로 반영함으로써 최적 정책에 근접한 근사 해를 빠르게 얻을 수 있기 때문이다. 결론적으로, 본 논문은 (i) 다중 사용자·다중 CAPA 시스템에 대한 최초의 폐쇄형 합률 식을 제시하고, (ii) 이를 기반으로 연속 함수 최적화를 유한 차원 매개변수 문제로 변환하는 함수형 WMMSE 알고리즘을 개발했으며, (iii) 함수형 WMMSE 구조를 그대로 반영한 GNN 기반 INR인 BeamINR을 설계해 학습·추론 효율성과 일반화 성능을 크게 향상시켰다. 이러한 접근은 차세대 HMIMO·CAPA 시스템에서 실시간 고성능 빔포밍을 구현하기 위한 중요한 이정표가 될 것으로 기대된다.