Bruhat 순서와 Coxeter 군으로 만든 고성능 CSS 코드

본 논문은 Coxeter 군의 Bruhat 순서를 활용해 새로운 CSS 양자 오류 정정 코드 패밀리를 체계적으로 구축하는 방법론을 제시한다. 먼저 Coxeter 군 $(W,S)$와 그 Bruhat 순서의 열린 구간 $B=(w_b,w_t)$를 정의하고, 이 구간이 정규 CW 복합 $F(S^d)$와 동형임을 이용한다. $B$는 길이 $\ell(B)=d+2$인 체인 복합이며, $d$가 충분히 크면 짧은 길이의 체인 복합으로 축소할 수 있다. 논문은 $2k+1$개의 레이어를 선택해 $(W,w_b,w_t,p)^{2k+1}$ 형태의 부분 포스를 만든다. $k=1$일 때는 “양자 터너 그래프”라 불리며, 레이어 $l_{p-1},l_p,l_{p+1}$을 각각 데이터 큐빗, $X$‑스테빌라이저, $Z$‑스테빌라이저에 대응시켜 CSS 코드를 만든다. 이때 $p=1$ 혹은 $p=d+1$을 제외하면 비자명한 논리 차원을 갖는다. Bruhat 포스의 핵심 특성은 길이 2,3,4 구간이 각각 $S^0$, $S^1$, $S^2$ 구 형태로 분해된다는 점이다. 이를 ‘다이아몬드‑$S^0$’, ‘k‑크라운‑$S^1$’, ‘$S^2$‑구’라고 명명하고, 각 구간에 대해 “스플라이싱” 연산을 적용한다. 스플라이싱은 무거운 스테빌라이저를 여러 개의 저무게 스테빌라이저와 새로운 레이어로 분해해 전체 무게 분포를 평탄화한다. 그러나 스플라이싱만으로는 일부 구간에서 여전히 무거운 스테빌라이저가 남을 수 있다. 이를 해결하기 위해 “가중치 감소” 절차를 도입한다. 가중치 감소는 기존 스테빌라이저를 여러 개의 저무게 스테빌라이저와 메타체크(추가 검증 연산)로 분해하고, 물리 큐빗 수를 늘리는 대신 거리 감소를 최소화한다는 가정을 둔다. 다음 단계는 “체인 폴딩”이다. 길이 $2k+2$인 체인 복합 $(W,w_b,w_t,p,\hat b,\hat t)^{2k+1}$을 길이 2 혹은 3인 복합으로 압축한다. 길이 2 복합은 전통적인 CSS 코드가 되며, 길이 3 복합은 메타체크를 포함한 확장된 CSS 코드가 된다. 이 과정에서 스테빌라이저 무게를 $O(\log|W|)$ 수준으로 제한할 수 있음을 보이며, 무한 Coxeter 군(affine, hyperbolic)에서도 동일한 절차가 적용 가능함을 논증한다. 실험적 검증을 위해 GAP 기반 QDisRnd와 Qubitserf 도구를 사용해 거리 상한을 계산하였다. 대부분의 코드는 확률적 상한이지만, 작은 규모의 코드에 대해서는 정확한 거리와 논리 연산자를 직접 추출해 검증하였다. 구체적인 결과는 다음과 같다. - $