구면·쌍곡·유클리드 곱공간에서 등등각 초곡면의 완전 분류

초록

본 논문은 구면 (S^{n})·쌍곡공간 (H^{n})과 유클리드 공간 (\mathbb{R}^{m})의 곱 (S^{n}\times\mathbb{R}^{m}), (H^{n}\times\mathbb{R}^{m})에서 등등각 초곡면이 항상 일정한 각 함수(C)를 갖는다는 사실을 증명하고, 이를 기반으로 모든 등등각·동질 초곡면을 완전히 분류한다. 또한 이러한 초곡면은 모두 일정한 주곡률을 가진다는 결론을 얻는다.

상세 분석

논문은 먼저 곱공간 (M^{n}{c{1}}\times M^{m}{c{2}}) ((c_{i}\in{1,0,-1}))에 자연스럽게 정의되는 텐서 (P)와 각 함수 (C(p)=\langle PN(p),N(p)\rangle)를 도입한다. 여기서 (N)은 초곡면 (\Sigma)의 단위 법벡터이며, (P)는 첫 번째 인자에 대해 부호를 바꾸는 평행 텐서이다. 중요한 미분식 (\nabla_{\Sigma}C=-2AV) ((V=PN-CN))를 얻음으로써, 등등각 초곡면은 (C)가 상수임을 보인다(정리 1.1).

(C)가 상수이면 (|V|^{2}=1-C^{2})도 상수이며, (C\neq\pm1)인 경우 (V)는 비자명한 접벡터장이 된다. 이를 이용해 초곡면의 초곡률 연산자 (A)를 (P)와 (C)에 대한 분해 형태로 표현하고, 초곡면을 두 부분 (\Sigma_{x}\subset M^{n}{c{1}})와 (\Sigma_{y}\subset M^{m}{c{2}})의 전단면으로 바라볼 수 있음을 보인다(명제 3.1, 3.3). 특히 (\Sigma_{x},\Sigma_{y})는 각각 전단면이므로 자체가 전정(또는 등등각) 초곡면이며, 초곡률은 (C)에 의해 스케일링된다.

다음 단계에서는 초점점(focal point)의 구조를 분석한다. (C)가 일정하면 초점점은 각 인자 공간의 초점점과 일대일 대응한다. 이를 통해 초곡면이 전단면의 곱 형태이거나, 한 인자에 대해 완전한 초곡면을 포함하고 다른 인자에서는 평면(또는 원뿔) 형태를 취한다는 결론을 얻는다.

특히 차원 (n=1)인 경우는 (\mathbb{S}^{1}\times\mathbb{R}^{m})에서 특별히 다루어지며, (\mathbb{R}^{m+1})의 등등각 함수와의 리만 서브머전(덮개) 관계를 이용해 모든 경우를 전개한다. 여기서 등장하는 ‘파라볼릭 보울(parabolic bowl)’은 (\Phi(x)=(\cos\langle x,x_{0}\rangle,\sin\langle x,x_{0}\rangle,x)) 형태로 정의되며, 이는 (C)가 0인 비축소 초곡면이다.

(n\ge2)인 경우에는 (C\neq\pm1)이면 (C_{1},C_{2})도 상수가 되므로, 초곡면은 다음 네 가지 유형 중 하나로 완전히 분류된다: (i) (K_{1}\times\mathbb{R}^{m}) (첫 인자에서 등등각 초곡면), (ii) (M^{n}{c}\times K{2}) (두 번째 인자에서 평면), (iii) 위의 파라볼릭 보울(특수 경우), (iv) (\Psi)로 정의되는 하이퍼볼릭 경우(호르소페어와 아핀 평면을 결합).

결과적으로 모든 등등각 초곡면은 일정한 주곡률을 가지며(정리 1.6), 동질 초곡면 역시 위 네 유형 중 하나로 정확히 기술된다(정리 1.7). 논문은 기존에 (m=1)인 경우만 다루던 결과를 (m\ge2)까지 일반화하고, 복소 구조에 의존하던 기존 방법을 피하면서 차원에 구애받지 않는 새로운 접근법을 제시한다.