순위 투표의 최심도 기반 규칙 통합 프레임워크

본 논문은 ‘최심도 투표(Deepest Voting)’라는 새로운 프레임워크를 순위형 투표에 적용함으로써, 기존의 다양한 투표 규칙을 하나의 통합 이론 아래 재해석한다. 서론에서는 전통적인 순위 기반 사회 선택 이론을 소개하고, 평가 기반 투표에서 깊이 함수를 활용한 연구(Aubin et al., 2022)를 순위형 투표로 확장할 필요성을 제기한다. 이어서 2장에서는 깊이 함수의 수학적 정의를 두 부분으로 나눈다. 첫 번째는 연속 다변량 공간 ℝ^m에서의 깊이 함수이며, (C1)–(C6) 여섯 가지 공리를 통해 중심성, 불변성, 최대성, 준볼록성, 무한대에서의 소멸, 그리고 마진 특성을 보장한다. 여기서는 L_q 깊이, 반공간 깊이(Halfspace depth), 투영 깊이(Projection depth) 등을 예시로 든다. 두 번째는 순열 집합 S_m에 대한 깊이 함수 정의이다. 순열 거리 d(·,·)를 도입하고, 이를 이용해 프레셰 평균 개념을 확장해 ‘p‑Fréchet 중심’ 개념을 정의한다. Goibert et al.(2022)의 정의를 차용해 (P1)–(P4) 네 가지 공리를 제시하고, 켄달 거리, 해밍 거리, 전치 거리, Minkowski‑Holder 거리 등 다양한 메트릭을 설명한다. 가중치 거리 d_w는 후보 간 중요도 차이를 반영하도록 설계되며, 삼각 부등식이 깨질 수 있지만 ρ‑완화 형태로 보완한다. 3장에서는 이러한 깊이 함수를 투표 절차에 적용하는 방법을 공식화한다. n명의 유권자가 m명의 후보에 대해 순위 σ_v∈S_m를 제시하면, 전체 표본 Φ={σ_1,…,σ_n}의 경험적 분포를 정의한다. 깊이 함수 D(·,Φ) 를 계산해 최대값을 갖는 순열 σ*를 ‘가장 중심적인 유권자’라 정의하고, σ*의 최상위 후보를 최종 승자로 선택한다. 이 과정을 ‘최심도 투표 절차’라 부른다. 이 절차는 깊이 함수의 선택에 따라 다양한 기존 규칙을 재현한다. 예를 들어, L_1 깊이는 보르다 점수와 동일한 결과를, 켄달 거리 기반 깊이는 Kemeny‑최소 거리 규칙과 일치한다. 해밍 거리 기반 깊이는 Plurality(다수결)를, 반대 해밍 거리(가중치 반전) 기반 깊이는 Antiplurality(반다수결)를 구현한다. 또한, 가중치 Minkowski 거리와 같은 변형을 통해 후보 간 중요도 차이를 반영한 새로운 규칙을 설계할 수 있다. 4장에서는 연속 깊이 함수를 이용한 사례 분석을 제시한다. L_q 깊이와 반공간 깊이의 수학적 성질을 검토하고, 중심성의 존재·유일성을 보장하는 조건을 논한다. 특히, L_2 깊이는 평균 중심과 동일하며, 이는 유클리드 거리 기반 Kemeny 규칙과 연결된다. 5장에서는 순열 깊이 함수를 중심으로 한 구체적 결과들을 제시한다. 켄달 거리와 전치 거리의 경우, 깊이 함수가 유일한 중심을 갖는다면 해당 중심은 콘덱트 승자를 보장한다는 정리를 증명한다. 반면, 가중치 해밍 거리와 같이 비대칭적인 가중치를 부여하면 콘덱트 속성이 깨질 수 있음을 사례로 제시한다. 또한, 깊이 함수의 (P3)·(P4) 공리를 이용해 ‘지역 단조성’과 ‘전역 단조성’이 투표 결과의 안정성에 미치는 영향을 분석한다. 6장에서는 실험적 시뮬레이션을 수행한다. 후보 수 m=5,10,20에 대해 n=100,500,1000명의 유권자를 무작위로 생성하고, 다양한 거리·가중치 조합을 적용한 깊이 함수를 비교한다. 결과는 켄달 거리 기반 깊이가 가장 높은 정확도로 콘덱트 승자를 찾아내며, 가중치 해밍 거리는 특정 후보에 대한 편향을 조절할 수 있는 유연성을 제공한다는 것을 보여준다. 또한, 깊이 함수가 복수의 중심을 가질 경우(예: 대칭적인 표본) 결과가 다중 승자로 분기될 수 있음을 확인한다. 마지막으로 7장에서는 연구의 의의와 향후 과제를 논한다. 최심도 투표 프레임워크는 거리 기반 사회 선택 이론과 통계적 중심성 이론을 연결함으로써, 투표 규칙 설계에 새로운 수학적 도구를 제공한다. 향후 연구에서는 깊이 함수의 계산 복잡도 최적화, 동적 선호 변화에 대한 연속적 업데이트, 그리고 실제 선거 데이터에 대한 적용 사례를 확대할 필요가 있다. 전체적으로 본 논문은 순위형 투표에 깊이 함수를 도입함으로써, 기존 규칙들의 공통 구조를 밝히고, 새로운 규칙 설계와 기존 규칙의 특성 분석에 강력한 이론적 기반을 제공한다.