조건부 확률 없이 증명한 로바시 지역 보조정리와 대각 라멜 수 하한 강화

본 논문은 두 가지 주요 목표를 가지고 있다. 첫 번째는 로바시 지역 보조정리(Lovász Local Lemma, 이하 LLL)의 기존 증명에서 흔히 사용되는 조건부 확률을 완전히 배제하고, 무조건부 확률 부등식만으로 증명을 재구성하는 것이다. 두 번째는 이렇게 새롭게 정립된 LLL를 이용해 대각 라멜 수 \(R(k,k)\) 에 대한 현재 알려진 최선의 하한을 약간 개선하는 것이다. 1. **서론 및 배경** 전통적인 LLL는 “각 사건 A_i 가 제한된 수의 다른 사건에만 의존한다”는 가정 하에, 모든 사건이 동시에 일어나지 않을 확률이 양수임을 보인다. 기존 증명에서는 Lemma 1 형태의 부등식 \(P(A_i\mid \bigcap_{j\in S}A_j)\le x_i\) 를 도출하기 위해 조건부 확률을 사용한다. 그러나 조건부 확률은 그 정의 자체가 조건 사건의 확률이 양수일 때만 의미가 있기 때문에, 증명 과정에서 “조건 사건이 양수라는 가정”을 별도로 확인해야 하는 불편함이 있다. 2. **조건부 확률 없이 LLL 증명** - **정의와 준비**: 사건들의 의존도를 나타내는 의존도 다이그래프 D를 도입하고, 각 사건 A_i 에 대해 \(x_i\in