무작위 유니터리 쌍의 교환 팽창 상수와 보편적 상수의 새로운 상한

초록

본 논문은 독립적인 Haar 무작위 $N\times N$ 유니터리 두 개의 교환 팽창 상수 $c(U_1,U_2)$가 $N\to\infty$에서 거의 확실히 $\sqrt2$에 수렴한다는 강력한 실험적 증거를 제시한다. 이를 가정하면 모든 수축 연산자 쌍에 대한 보편적 교환 팽창 상수 $C_2$가 $2^{2/3}<2$ 이하임을 증명한다. 핵심은 행렬 범위 수렴과 팽창 상수 사이의 관계를 정리한 새로운 정리와, 실제 행렬쌍에 대해 $c$를 계산하는 효율적인 알고리즘이다.

상세 분석

논문은 먼저 연산자 튜플 $T=(T_1,\dots,T_d)$에 대해 “교환 팽창 상수” $c(T)$ 를 정의한다. 이는 $T$ 가 노름이 $c$ 이하인 교환 정규 연산자들의 압축으로 나타날 수 있는 최소 $c$ 로, $c(T)=\inf{c>0:;T\prec cU}$ 로 표기한다. 여기서 $T\prec cU$ 는 Stinespring 정리와 동등하게 $T$ 가 $cU$ 로부터 완전 양자화 사상( UCP map )을 통해 얻어질 수 있음을 의미한다.

주요 대상은 $d=2$ 인 경우이며, 보편적 상수 $C_2:=c(u_u,u_0)$ 를 연구한다. $u_u$ 는 자유 군 $F_2$ 의 생성자들로 이루어진 자유 유니터리 튜플, $u_0$ 는 토러스 $\mathbb T^2$ 위의 교환 유니터리 튜플이다. 기존 문헌에서는 $ \sqrt d\le C_d\le \sqrt{2},d$ 로 알려져 있었으며, $d=2$ 에서는 $C_2\le 2$ 가 가장 좋은 상한이었다.

논문은 두 가지 새로운 접근을 제시한다. 첫 번째는 행렬 범위(matrix range) 수렴과 팽창 상수 사이의 연속성을 보이는 정리(정리 2.1)이다. 임의의 연산자 시퀀스 ${\xi(N)},{\eta(N)}$ 가 각각 $\xi(\infty),\eta(\infty)$ 로 레벨별(matrix range) 수렴하면
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