단색 번역 곱과 사하스라부드의 추측 해답

초록

본 논문은 모든 유한 색칠에 대해 자연수 집합에서 ({a,b,ab,a(b+1)}) 형태의 네 수가 같은 색으로 나타난다는 것을 증명한다. 이를 변수 변환을 통해 ({x,y,x+y,\frac{y}{x}}) 로 바꾸어, Hindman 추측의 “몫 버전”을 제공한다. 또한, J. Sahasrabudhe가 제시한 해당 형태의 단색 구성이 존재하지 않을 수 있다는 추측을 반증한다.

상세 분석

논문은 Ramsey 이론에서 덧셈·곱셈 구조를 동시에 포함하는 패턴의 partition regularity 를 조사한다. 기존에 Schur 정리( ({a,b,a+b}) )와 그 곱셈 버전( ({a,b,ab}) )이 각각 partition regular 하다는 사실은 잘 알려져 있다. 그러나 ({a,b,a+b,ab}) 와 같이 네 원소를 모두 포함하는 패턴이 모든 유한 색칠에 대해 단색으로 나타나는지는 오랫동안 미해결이었다. Hindman 은 2‑색 경우에 이를 증명했으며, 전반적인 경우는 아직 추측 단계에 머물렀다.

Moreira(2017)는 van der Waerden 정리와 IP‑set 개념을 활용해 ({a,ab,a+b}) 가 단색임을 보였고, 이는 Hindman 추측에 대한 첫 번째 비자명한 부분 결과였다. Sahasrabudhe(2017)는 비대칭 Schur 형태인 ({a,b,a(b+1)}) 가 특정 색칠에서는 나타나지 않을 수 있다고 conjecture 하였는데, 이는 “번역된 곱” 패턴이 색칠에 회피될 가능성을 제시한 것이었다.

본 논문은 이러한 두 추측을 동시에 부정한다. 핵심은 IP‑set 과 IP(_R)‑set 의 구조적 특성을 반복적으로 이용해 색칠된 집합 안에서 점차 작은 IP‑subset 를 추출하고, 그 과정에서 특정 원소 (y) 를 선택해 ((-y+A)\cap A) 가 다시 IP‑set 임을 보이는 Lemma 3을 활용한다. Lemma 2는 선택된 (y) 로부터 (y^{-1}A’\subset\mathbb N) 인 또 다른 IP‑set 을 얻어, 곱셈적 스케일링을 가능하게 만든다. Lemma 1( Hindman 정리의 재표현) 은 이렇게 얻어진 IP‑subset 에 대해 색이 일정한 부분을 보장한다.

증명은 다음과 같이 전개된다. 먼저 전체 색칠 (\mathbb N=\bigcup_{i=1}^r A_i) 중 하나를 IP‑set 으로 잡고, Lemma 3 로 (y_1) 를 선택한다. 그 후 Lemma 2 로 (C_1\subset y_1^{-1}(( -y_1+A_1)\cap A_1)) 를 얻고, Lemma 1 로 색이 일정한 (A_{i_1}) 와 교집합을 취해 (D_1) 를 만든다. 이 과정을 무한히 반복해 ({y_n}) 와 ({D_n}) 를 구성한다. 무한히 많은 단계 중 같은 색이 반복되는 두 단계 (j<n) 를 찾으면, 해당 단계에서 얻은 IP‑subset 들을 곱하고 더함으로써 \