방향성 변형 경화 모델의 수학적 일관성 확보를 위한 탈결합 왜곡 항 도입

초록

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본 논문은 Feigenbaum·Dafalias가 제시한 기존 방향성 변형 경화 모델의 수학적 모순과 r‑모델의 평탄화 한계를 해결한다. 변형 항을 전단 응력과 독립적인 탈결합 형태로 재정의함으로써, 백스트레스가 없어도 왜곡을 유지하고, 로딩·역로드 방향 모두에서 수축·팽창을 동시에 구현한다. 합리적 열역학 기반의 연속 방정식과 수치 알고리즘을 제시하여 향후 실험 검증을 위한 토대를 제공한다.

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상세 분석

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본 연구는 금속 플라스틱성에서 관찰되는 방향성 변형 경화(Directional Distortional Hardening, DDH)의 수학적 모델링에 내재된 두 가지 근본적인 문제점을 정확히 짚어낸다. 첫 번째는 Feigenbaum·Dafalias가 제시한 ‘완전 모델(complete model)’에서 발생하는 모순이다. 이 모델은 4차 텐서 A와 백스트레스 α를 결합한 형태 H = H₀ + (nᵣ:α) A 로 왜곡 항을 정의한다. 따라서 α가 0이면 H는 H₀만 남아 왜곡이 사라지고, 결과적으로 수식 (2)의 수율면은 순수한 von Mises 형태가 된다. 그러나 플라스틱 자유에너지의 비등방성 부분 ψᵃⁿᵖ는 α와 무관하게 A에 의해 저장될 수 있다고 가정한다(식 11‑14). 즉, 에너지 저장은 존재하지만 수율면에는 반영되지 않는 불일치가 발생한다. 두 번째 문제는 ‘r‑모델’에서 제시된 2차 텐서 r을 이용한 스칼라 스케일링 1 − (nᵣ:r) 으로 왜곡을 표현한 점이다. 이 접근은 백스트레스와 왜곡을 완전히 탈결합시켜 α = 0일 때도 왜곡이 가능하도록 만든다. 그러나 4차 텐서 구조가 없기 때문에 역로드 방향에서의 평탄화(flattening) 현상을 재현하지 못한다.

저자들은 이러한 한계를 극복하기 위해 ‘탈결합 변형 경화 항(decoupled distortional hardening term)’을 도입한다. 핵심 아이디어는 왜곡 텐서를 응력 텐서와 직접 결합하지 않고, 별도의 스칼라 혹은 2차 텐서 z (또는 r)로 정의한 뒤, 수율함수에 f = (s − α):