다형 초과임계 브랜칭 과정의 공통 조상 시간 분포

초록

본 논문은 초과임계 다형 갈론‑워슨 과정에서 무한히 진행된 후, 마지막 세대에서 무작위로 선택된 k명의 개체들의 가장 최근 공통 조상(MRCA) 세대를 분석한다. 정상화된 인구 규모의 극한 분포와 조화 평균을 이용해 MRCA 세대의 분포식을 제시하고, 하르비스‑세바스티아노프 변환의 다형 일반화를 통해 실용적인 상·하한을 도출한다. 수치 실험을 통해 제시된 방법이 실제 모델에 적용 가능함을 확인한다.

상세 분석

이 연구는 초과임계(supercritical) 다형 Galton‑Watson 과정의 장기 거동을 정밀히 파악하고, 특히 샘플링된 k개의 개체가 공유하는 가장 최근 공통 조상(MRCA)의 세대 t에 대한 분포함수를 구한다는 점에서 의미가 크다. 기존에는 단일형 과정이나 다형 과정의 임계(critical) 경우에만 MRCA에 대한 이론이 충분히 정립돼 있었으며, 비멸종 확률이 0인 경우에 한정된 결과만이 알려져 있었다. 본 논문은 두 가지 중요한 확장을 이룬다. 첫째, 비멸종 확률 q_i가 0이 아닌 일반적인 초과임계 과정(유한형 혹은 가산 무한형)까지 포함한다. 이를 위해 저자는 정상화 상수 R<1(초과임계)와 R‑불변 측도 ν, 그리고 좌우 고유벡터 u를 이용해 인구 규모 |Z_T|가 R^T W(i_0) 로 수렴함을 보이는 기존 정리(Theorem 1)를 기반으로 한다. 둘째, MRCA 분포를 직접 계산하기 어려운 점을 극복하기 위해 조화 평균(Harmonic moments)과 하르비스‑세바스티아노프 변환의 다형 일반화를 도입한다. Lemma 1은 단일형 경우에 알려진 식을 다형 경우로 확장하여, 조건부 기대값 E