2‑진법 평가로 본 σₖ(n) 함수의 새로운 경계

초록

저자들은 k가 홀수일 때와 짝수일 때 각각 ν₂(σₖ(n)) ≤ ⌈log₂ n⌉, ν₂(σₖ(n)) ≤ ⌊log₂ n⌋ 라는 최적 상한을 증명하고, 등호가 성립하는 경우를 정확히 규명한다. 특히 k가 홀수이면 등호는 서로 다른 메르센 소수들의 곱에서만, k가 짝수이면 n=3에서만 발생한다. 또한 ν₂(σₖ(n))을 n의 소인수 분해에 대한 명시적 식으로 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 σₖ(n)의 곱셈성 σₖ(mn)=σₖ(m)σₖ(n) (gcd(m,n)=1)을 이용해 문제를 소수 거듭제곱으로 환원한다. 2의 거듭제곱에 대해서는 σₖ(2ᵃ)=1+2ᵏ+…+2ᵃᵏ이 모두 짝수이므로 ν₂(σₖ(2ᵃ))=0임을 보이고, 따라서 ν₂(σₖ(n))는 n의 홀수인 부분만에 의존한다는 중요한 관찰을 얻는다.

다음으로, 홀수 소수 p와 그 거듭제곱 p^α에 대해 ν₂(σₖ(p^α))를 구한다. α가 짝수이면 σₖ(p^α)의 항 수가 홀수이고 각 항이 모두 홀수이므로 전체 합이 홀수가 되어 ν₂=0이다. α가 홀수이면 σₖ(p^α)= (pᵏ)^{α+1}−1 / (pᵏ−1) 형태가 되며, 여기서 Lifting‑the‑Exponent(LTE) 정리를 적용한다. 결과적으로

ν₂(σₖ(p^α)) = ν₂(α+1) + ν₂(pᵏ+1) − 1

가 얻어진다.

k의 홀짝에 따라 ν₂(pᵏ+1)의 값이 크게 달라진다. k가 홀수이면 pᵏ+1 = (p+1)(… )이며 두 번째 인자는 홀수이므로 ν₂(pᵏ+1)=ν₂(p+1). 반면 k가 짝수이면 pᵏ≡1 (mod 8)이므로 pᵏ+1≡2 (mod 8)이고 ν₂(pᵏ+1)=1이다. 이를 정리하면

• k 홀수: ν₂(σₖ(p^α)) = ν₂(α+1) + ν₂(p+1) − 1 (α 홀수)
• k 짝수: ν₂(σₖ(p^α)) = ν₂(α+1) (α 홀수)

다음 단계에서는 n을 2ᵃ·∏p_i^{α_i} 형태로 적고, 위 결과를 곱셈성에 적용해

ν₂(σₖ(n)) = Σ_{i, α_i odd}