가변밀도·가변점도 맥동 흐름에서의 테일러 분산 확장

초록

본 논문은 맥동 파이프 흐름에서 비수동 스칼라가 밀도와 점도에 미치는 영향을 고려한 테일러(전단‑유도) 분산을 다중 스케일 해석으로 유도한다. 결과적으로 스칼라 농도에 대한 1차원 비정상 혼합 방정식과 유효 확산계수를 얻으며, 이는 정상 흐름·진동 흐름 모두에 적용 가능하다.

상세 분석

본 연구는 기존 테일러‑분산 이론을 크게 확장한다. 먼저 파이프 내부의 압력 구배를 (G+e_G\cos\omega t) 형태의 정상·진동 성분으로 설정하고, 스칼라 (c) 가 밀도 (\rho(c))와 점도 (\mu(c))·확산계수 (\lambda(c))에 의존한다는 비수동성을 도입한다. 비차원화 과정에서 반경 (a)와 혼합 길이 (l_m) 사이의 비율 (\varepsilon=a/l_m\ll1) 와 Peclet 수 (Pe\sim O(1)), 비정상성 파라미터 (\beta=\omega a^2/D_\infty\sim O(1)) 를 가정한다.

다중 스케일 기법을 적용해 ‘느린 시간’ (t) 과 ‘빠른 시간’ (\tau=t/\varepsilon^2) 을 도입하고, 변수들을 (\varepsilon)에 대한 정규 급수로 전개한다. 0차 스칼라 방정식은 방사형 확산만 포함하고, 경계조건과 주기성을 만족하면 (c_0) 는 전단 좌표와 빠른 시간에 무관함을 보인다. 0차 흐름 방정식은 축방향 속도 (u_0)와 압력 (p_0)를 구하고, 여기서 진동 성분은 복소 상수 (A)와 Bessel 함수 (I_n) 로 표현된다. 특히, 가변밀도·점도에 따라 (A)가 공간·시간에 변하는 점이 핵심이며, 고정밀도·점도 경우 (A=1) 이 된다.

1차 스칼라 교정 (c_1) 는 전단에 의해 발생하는 ‘전단‑유도 확산’ 항을 포함한다. 여기서 중요한 파라미터는 가변 스칼라에 의한 Peclet 수 (Pe(x,t)=\rho(c)Pe/\lambda(c)) 이며, 이는 정상 흐름에서의 테일러‑분산 항을 (\frac{Pe^2}{48}) 형태로 나타낸다.

2차 방정식까지 진행하면, 평균(소규모 좌표에 대한 적분) 후 1차원 비정상 혼합 방정식이 도출된다. 질량 보존식은
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