분할과 하강, 약한 순서에 관한 새로운 추측

초록

이 논문은 임의의 코시터 군 ((W,S))에서 원소 (w)의 왼쪽 반전 집합을 여러 원소들의 반전 집합으로 분할하는 개념을 도입하고, 그런 분할이 존재할 때 오른쪽 하강 수 (d_R(w))가 분할된 각 원소들의 오른쪽 하강 수의 합과 일치한다는 추측을 제시한다. 저자는 이 추측을 타입 A(대칭군)와 타입 B(하이퍼옥토헤드럴 군)에서 직접 증명하고, 약한 순서와 직경 개념을 이용한 등가 형태도 제시한다. 또한 무한 코시터 군에 대한 실험적 검증 결과를 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 코시터 시스템 ((W,S))의 반전 집합 (T(w)={t\in T\mid \ell(tw)<\ell(w)})을 정의하고, 이를 여러 원소들의 반전 집합의 서로소 합으로 표현하는 “분할(partition)” 개념을 도입한다. 여기서 중요한 점은 분할이 원소 (w)의 길이와 왼쪽 하강 집합을 그대로 보존한다는 사실이다. 즉, (\ell(w)=\sum_{u\in\mathcal P}\ell(u))이며, (D_L(w)=\bigsqcup_{u\in\mathcal P}D_L(u))가 성립한다. 이러한 성질은 기존의 코시터 군 이론에서 알려진 부분 순서 구조와 완벽히 일치한다.

핵심 추측(Conjecture 1)은 “({u,v})가 (w)의 bipartition이면 (d_R(w)=d_R(u)+d_R(v))”이다. 저자는 이를 오른쪽 약한 순서 ((W,\le_R))와 연결시켜, bipartition이 (