신경 연산자를 활용한 마코프 점프 하이퍼볼릭 PDE의 강인 안정화

초록

본 논문은 2×2 선형 하이퍼볼릭 편미분 방정식에 마코프 점프 형태의 파라미터 불확실성을 도입하고, 백스테핑 커널을 신경 연산자(Neural Operator)로 근사하여 제어법을 설계한다. 평균제곱 지수안정성을 Lyapunov 분석으로 증명하고, 근사 오차와 파라미터 변동이 충분히 작을 경우 시스템을 안정화함을 보인다. 교통 흐름 제어 사례를 통해 실효성을 확인한다.

상세 분석

본 연구는 하이퍼볼릭 PDE의 경계 제어 문제를 마코프 점프 파라미터와 결합한 새로운 프레임워크를 제시한다. 먼저 2×2 이종 하이퍼볼릭 시스템을 정의하고, 특성 속도 λ(t), μ(t)와 내부·경계 결합 계수 σ±(t), φ(t), ϱ(t) 를 유한 상태 마코프 체인으로 모델링한다. 이러한 확률적 파라미터는 독립적으로 전이 확률 P_Xij(t₁,t₂)를 갖으며, 전이율 τ_Xij와 소멸율 c_Xj 로 기술된다. 시스템은 전통적인 백스테핑 변환을 통해 Volterra 형태의 경계 피드백 제어법을 도출하는데, 핵심은 커널 방정식의 해 K(x,ξ) 를 구하는 것이다. 기존 방법은 PDE 형태의 커널 방정식을 직접 해석하거나 수치적으로 풀어야 하며, 이는 고차원 연산과 전문 지식을 요구한다.

논문은 이러한 계산 부담을 완화하기 위해 커널 연산자 K: U → (C¹(T))⁴ 가 로컬 리프시츠 연속임을 증명(Lemma 1)하고, 이를 기반으로 보편적인 신경 연산자(DeepONet 등)의 근사 가능성을 확보한다(Lemma 2). 즉, 임의의 ε>0 에 대해 ‖K(δ₀)−ĤK(δ₀)‖_∞<ε 를 만족하는 신경 연산자 ĤK 가 존재한다는 것이며, ε 는 네트워크 깊이·폭·학습 데이터 양에 따라 조절 가능하다.

이러한 근사 커널을 이용해 제어 입력 U_NO(t) 를 정의하고, 마코프 점프 파라미터가 시간에 따라 변하는 확률적 시스템에 적용한다. Lemma 3 은 NO‑근사 커널을 사용한 폐루프 시스템이 초기 조건과 파라미터 초기값에 대해 유일해 존재함을 보이며, 기대값이 유계임을 증명한다. 이후 Lyapunov 함수 V(t)=E