G 백색소음 하 확률열 열방정식의 존재성 및 해석

초록

본 논문은 서브선형 기대(framework) 하에서 공간‑시간 G‑백색소음에 의해 구동되는 확률열 열방정식의 약해(mild) 해와 약해(weak) 해의 존재·유일성을 증명하고, 스토캐스틱 푸비니 정리를 일반화하여 두 해가 일치함을 보이며, 해의 모멘트 추정식도 제시한다.

상세 분석

이 연구는 전통적인 확률론에서 가정되는 고정된 확률분포 대신, 확률분포의 불확실성을 포괄하는 서브선형 기대(G‑expectation) 체계 내에서 SPDE, 특히 열방정식에 대한 새로운 이론을 구축한다. 핵심은 공간‑시간 G‑백색소음이라는 비선형 노이즈를 정의하고, 이에 대한 적분 이론을 확장한 점이다. G‑백색소음은 기존의 가우시안 백색소음과 달리 여러 상호배타적인 확률측도들의 상한으로 표현되므로, 적분가능성 조건이 훨씬 엄격해진다. 저자는 이러한 조건을 만족하도록 그린 함수와의 합성 적분의 연속성을 증명하고, Picard 반복법을 이용해 비선형 계수 a(u), b(u) 가 Lipschitz 연속일 때 약해 해의 존재와 유일성을 확보한다. 또한, 스토캐스틱 푸비니 정리를 서브선형 기대 하에서 일반화함으로써 시간‑공간 적분 순서를 교환할 수 있음을 보이고, 이를 통해 약해 해와 약해(mild) 해가 동일함을 확인한다. 선형 경우에는 해를 명시적으로 표현하고, 해의 p 차 모멘트에 대한 상한을 얻어 해의 안정성을 정량화한다. 전체 과정에서 서브선형 기대의 정규성, 독립성, 그리고 조건부 기대 개념을 정교하게 활용하여, 기존 확률론적 SPDE 이론이 적용되지 못하던 불확실성 모델에 대한 해석적 기반을 제공한다.