오리클 성장 비선형 타원 방정식의 측정 데이터에 대한 그래디언트 추정

초록

본 논문은 Orlicz 성장 조건을 만족하는 비선형 타원 방정식에 대해 측정 데이터가 주어졌을 때, 그래디언트에 대한 Wolff 잠재력 추정과 Lipschitz 정규성을 얻는다. 특히 지수 (i_a)가 (\big(\frac{n-1}{2n-1},1\big)) 구간에 있을 때는 점별 Wolff 잠재력 추정식을, (i_a\in(0,1)) 구간에 있을 때는 내부 Lipschitz 추정식을 증명한다. 전력형 경우 (g(t)=t^{p-1})에서는 기존의 (p)-라플라스 결과를 회복한다.

상세 분석

이 연구는 Orlicz 함수 (g)가 구조적 조건 (0<i_a\le \frac{t g’(t)}{g(t)}\le s_a<1)을 만족하는 경우를 다루며, 비선형 연산자 (A(x,\xi))가 (1.2)식의 성장·강성·연속성 조건을 갖는다고 가정한다. 측정 데이터 (\mu)는 임의의 유계 측정으로, 해는 일반적인 Sobolev 공간이 아니라 트렁케이션을 이용한 일반화된 그래디언트 (\nabla u)를 가진 renormalized solution 개념을 사용한다. 논문의 핵심은 두 가지 정규성 결과이다. 첫 번째는 (i_a\in\big(\frac{n-1}{2n-1},1\big)) 구간, 즉 ‘singular regime’에서 점별 Wolff 잠재력 추정식 (1.9)을 증명하는 것으로, 여기서 \