이동범위 시그마 추정기의 순서 의존성 및 전체 분산 분해
본 논문은 I‑MR 차트에서 사용되는 span‑2 평균 이동범위(MR(2))를 σ 추정기로 활용할 때, 관측값의 순서에 따라 추정값이 변한다는 점을 수학적으로 규명한다. 무작위 균등 순열을 도입해 전체 분산을 “값 성분”과 “순서 성분”으로 정확히 분해하고, 순열 평균이 Gini 평균 차이(GMD)를 d₂로 나눈 값임을 보인다. 정규분포 가정 하에 두 성분의 폐쇄형식을 제시하고, 대규모 한계에서 순서 성분이 전체 분산의 약 38 %를 차지함을 …
저자: Andrew T. Karl
본 논문은 품질 관리에서 널리 사용되는 Individuals‑Moving‑Range(I‑MR) 차트의 핵심 요소인 σ̂ = MR(2)/d₂ 추정기가 관측값의 순서에 따라 달라지는 현상을 체계적으로 분석한다. 먼저, X₁,…,Xₙ을 i.i.d. 표본으로 가정하고, Π를 {1,…,n}에 대한 균등 무작위 순열로 정의한다. 이때 정의된 이동범위 함수 MR(X,Π)=\(\frac{1}{n-1}\sum_{t=2}^{n}|X_{Π(t)}-X_{Π(t-1)}|\)와 스케일링 상수 d₂를 이용해 T(X,Π)=MR(X,Π)/d₂를 만든다.
법칙 of total variance 를 적용하면 전체 분산을 두 부분으로 나눌 수 있다.
1) **값 성분**: Var
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