가중치 Sobolev 및 Pólya Szegö 부등식과 그 응용

초록

본 논문은 3차원 영역에서 가중치가 부여된 Sobolev 공간의 임베딩을 위해 새로운 Pólya‑Szegö 부등식을 증명하고, 이를 이용해 휘발성 타원형 방정식 (-\Delta_x u-|x|^{2\alpha}u_{yy}=f(x,y,u)) 의 존재·비존재 결과를 도출한다. 핵심은 가중치 (|x|^{2\alpha}) 에 대한 등적 문제를 풀어 얻은 가중치 등적 부등식이며, 이를 통해 최적 상수를 포함한 Sobolev‑type 부등식을 얻는다.

상세 분석

논문은 먼저 3차원 공간 (\mathbb R^{3}) 에서 가중치 (|x|^{2\alpha};(x\in\mathbb R^{2})) 가 적용된 부피와 면적을 정의하고, 이들에 대한 등적(iso‑perimetric) 부등식을 구축한다. 핵심 정리인 Theorem 1은 “( (2,\alpha) )‑면적” (P_{2,\alpha}(E)) 와 “( (2,\alpha) )‑부피” (|E|_{2,\alpha}) 사이에 \