1차원 장거리 내부 확산 제한 집합의 선형 성장과 안정성 전이

초록

본 논문은 평균 0인 임의의 증분 분포를 갖는 1차원 랜덤 워크가 생성하는 내부 확산 제한 집합(IDLA)의 성장 형태를 연구한다. 증분의 2차 모멘트가 유한하면 군집의 대부분이 원점을 중심으로 대칭적인 연속 구간을 이루며, 성장 비율은 최적인 ½에 수렴한다. 반면 증분이 대칭 α‑안정법(1<α<2)의 영역에 속하면 성장 비율이 ½보다 작아지며, 일정한 상수 cα(0<cα<½)와 c′α 사이에 머문다.

상세 분석

이 연구는 기존의 내부 확산 제한 집합(IDLA) 모델을 일반적인 장거리 랜덤 워크로 확장함으로써, 증분 분포의 순간조건이 군집 형태에 미치는 영향을 정량화한다. 핵심 가정은 (I) 모든 정수 사이에 양의 전이 확률이 존재하는 비축소성(irreducibility)이며, 이는 증분 X가 0 평균을 갖고, 어떤 정수 h>1에 대해 X∈hℤ가 되지 않을 때 자동으로 만족된다. 논문은 두 주요 경우를 다룬다.

첫 번째 경우는 E