비선형 시스템의 쿠프만 해석을 통한 새로운 주파수 응답 정의

초록

본 논문은 쿠프만 연산자와 그 resolvent 이론을 이용해 비선형 연속시간 시스템의 주파수 응답을 정의한다. 입력을 단일 정현파로 강제하고, 스큐‑프로덕트 형태로 변환한 자율 시스템에 대한 쿠프만 생성자 L₍forced₎의 스펙트럼을 분석한다. L₍forced₎의 점 스펙트럼에 존재하는 고유값 i nω(또는 i ω/n)이 1차 극점일 경우, 해당 고유함수와 고유모드가 출력의 고조파·서브하모닉 응답을 결정한다. 이렇게 얻은 복소값 Hₙ(ω)·u₀ⁿ(또는 H₁/ₙ(ω)·u₀¹/ₙ)은 전통적인 LTI 시스템의 전이함수와 동일한 형태의 Bode 플롯을 그릴 수 있게 하며, 동적 모드 분해(DMD) 등 수치적 방법으로도 추정 가능함을 보인다.

상세 분석

이 논문은 비선형 시스템의 주파수 응답을 기존의 시간‑도메인 해석(조화평형법, 기술함수, 볼테라 시리즈 등)과는 근본적으로 다른, “주파수‑도메인” 관점에서 접근한다. 핵심 아이디어는 비선형 시스템을 관측가능 함수 공간 F 위에 정의된 쿠프만 연산자 Kₜ 의 반동작으로 보는 것이다. 쿠프만 연산자는 비선형 흐름 Sₜ 을 선형 연산자로 변환하지만 무한 차원을 갖는다. 이때 생성자 L 은 L f = F₀(x)·∇ₓ f 와 같이 정의되며, 그 resolvent R(s;L) = (sI − L)⁻¹ 은 복소 s 에 대해 존재하는 경우에만 유계 연산자를 제공한다. 논문은 먼저 입력 u(t)=u₀e^{iωt} 를 강제로 가한 비선형 시스템을 스큐‑프로덕트 형태(상태 x와 입력 u를 하나의 확장 상태로 묶음)로 재구성한다. 이 확장 시스템의 생성자는

L_{forced}=F(x,u)·∇ₓ + (iωu)∂/∂u

이며, 여기서 u 는 복소 평면에서 회전하는 동역학을 갖는다. 중요한 점은 uⁿ (또는 u^{1/n}) 가 관측가능 함수 공간 F 에 포함될 경우, i nω (또는 i ω/n) 가 L_{forced}의 점 스펙트럼에 정확히 대응한다는 것이다. Lemma 1·2는 이를 직접 검증한다: L_{forced} uⁿ = i nω uⁿ, L_{forced} u^{1/n} = i ω/n u^{1/n}. 따라서 이러한 고유값이 resolvent R(s;L_{forced}) 의 1차 극점이면, 복소 평면에서 해당 극점 주위의 잔여분(Residue)이 바로 출력 y(t) 의 고조파(또는 서브하모닉) 성분의 계수와 일치한다.

Theorem 1·2는 이 아이디어를 정리한다. 극점 i nω (또는 i ω/n)이 1차라면,

H_n(ω;g)=\lim_{s→i nω}(s−i nω)