비국소 일반화 디랙 진동자와 커널 수준 위변형성

초록

본 논문은 1+1 차원에서 일반화 디랙 진동자(GDO)를 비국소화하여, 곱셈 상호작용 f(x)를 적분 연산자 ĤF(커널 f(x,x′))로 대체한다. 연산자 팩터라이제이션을 유지하면서 스핀오르 컴포넌트는 비국소 슈뢰딩거형식 방정식으로 분리된다. 복소 평행 이동 메트릭 η=e^{‑θp_x}에 대한 커널 수준의 충분조건 f(x+iħθ,x′+iħθ)=f^*(x′,x)를 제시하고, Coz‑Arnold‑MacKellar 전류 기반 로컬화 기법을 적용해 에너지 의존적인 등가 로컬 퍼텐셜과 퍼레이(Perey) 감쇠 인자를 도출한다. 현재가 0이 되는 지점에서 매핑이 붕괴되어 비국소 슈뢰딩거 문제의 가짜 해를 진단한다. 마지막으로 로컬 디랙 진동자, 평행 이동 커널, 그리고 가우시안 형태의 유한 차수 분리 모델을 예시로 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 기존의 로컬 일반화 디랙 진동자(GDO)를 복습하고, σ_x와 β=σ_z를 이용한 1+1 차원 Dirac Hamiltonian H_GDO를 제시한다. 여기서 f(x)는 복소 함수일 수 있으며, A=p_x−i f(x), A^†=p_x+i f(x)라는 1차 연산자를 도입해 H_GDO를 A와 A^†의 팩터 형태로 표현한다. 이 구조는 두 스핀오르 컴포넌트를 각각 A^†A와 AA^†에 의해 정의된 비국소 슈뢰딩거형식 방정식으로 분리시킨다. V_±(x)=f^2(x)±ħ f′(x)라는 SUSY 파트너 퍼텐셜이 나타나는 것이 핵심이다.

비국소화는 f(x)→ĤF, 즉 (ĤF ψ)(x)=∫dx′ f(x,x′)ψ(x′) 로 대체함으로써 수행된다. 여기서 커널 f(x,x′)는 복소이며, Hermiticity는 f(x,x′)=f^*(x′,x) 로 정의된다. 논문은 ĤF를 포함한 비국소 Dirac Hamiltonian H_NLGDO를 (12)식으로 정의하고, 동일한 1차 연산자 A=p_x−iĤF, A^†=p_x+iĤF를 도입한다. 이때 A^†A와 AA^†는 p_x^2+ĤF^2±i