상태 제약을 갖는 선형‑이차 확률 제어 문제의 확률적 해법

초록

본 논문은 닫힌 집합 𝔇 내에 들어가지 않도록 제약된 확산 과정에 대해, 선형‑이차 비용을 최소화하는 최적 제어를 확률적 방법으로 구한다. 로그 변환을 이용해 값함수 v 를 v = −2 ln u 형태로 표현하고, u 는 제약을 위반하면 즉시 종료되는 무제어 확산 Z 의 지수형 기대값이다. 가정 하에 u 는 충분히 매끄럽고, 최적 제어는 α*(t,x)=−½ σᵀ∇u/u 로 주어지며 강형식(Strong) 해를 가진다. 또한, 값함수는 HJB 방정식의 고전해이며, 여러 예시와 충분조건을 통해 이론의 적용 가능성을 보여준다.

상세 분석

이 연구는 상태 제약이 있는 선형‑이차(stochastic linear‑quadratic, LQ) 제어문제를 기존의 PDE‑기반 접근이 아닌 순수 확률론적 프레임워크로 해결한다는 점에서 혁신적이다. 핵심 아이디어는 Fleming이 제시한 로그 변환을 활용해, 원래의 비선형 HJB 방정식을 선형 파라볼릭 방정식으로 변환하고, 그 해 u(t,x) 를 “제한된 영역 𝔇 에 도달하면 즉시 사멸(killed)되는 무제어 확산 Z” 의 기대값으로 정의한다. 구체적으로
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