오일러 토션트 함수와 그 비율의 거듭 제곱 합에 대한 새로운 상한

초록

본 논문은 양의 정수열 (a_{1},\dots ,a_{N})에 대해 (\displaystyle\sum_{n\le N}\Bigl(\frac{a_{n}}{\varphi(a_{n})}\Bigr)^{s}) 의 상한을 제시한다. 제한된 소인수 구조와 (\omega(d)) 에 대한 선형 제한을 가정하면, 상수 (C) 에 대해 (\exp!\bigl(s\log\log(s+2)+Cs\bigr)N) 와 같은 강력한 지수형 상한을 얻는다. 이를 이용해 다항식값, 선형형식, 소수에 대한 비율 초과 개수의 초지수적 감소도 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 (\displaystyle\frac{n}{\varphi(n)}) 를 소인수들의 로그에 의존하는 형태로 근사하는 Lemma 3.1을 도입한다. 이 결과는 (\displaystyle n/\varphi(n)\le c_{\alpha}\prod_{p\mid n,;p\le(\log n)^{\alpha}}!\Bigl(1+\frac1p\Bigr)) 로, 작은 소수만을 고려하면 충분히 강한 상한을 얻을 수 있음을 보여준다. 이후 정수열 ({a_n}) 에 대해 (\omega(d)=#{n\le N:a_n\equiv0\pmod d}) 를 정의하고, (\omega(d)\le K,g(d)) (여기서 (g) 은 곱셈함수) 라는 가정을 두어 핵심 부등식 (3)‑(5)를 전개한다. 이 과정에서 ({a_n}) 의 소인수 구조를 제한하는 집합 (D) (제곱자유이며 모든 소인수가 ( \le y) 인 수) 를 활용하고, (\mu^2(d)) 로 나타낸 지표함수를 통해 다중합을 분해한다. 결과적으로 (\displaystyle\sum_{n\le N}\bigl(a_n/\varphi(a_n)\bigr)^s) 은 (\displaystyle K,c_{\alpha}^s!!\prod_{p\le y}!\Bigl(1+((1+p^{-1})^s-1)g(p)\Bigr)) 로 제한된다.

Theorem 1.2에서는 추가 가정 (K=\gamma N), (0<g(p)\le c_0), (\sum_{p}g(p)/p<\infty) 을 도입해, 평균값 정리를 이용해 (\prod_{p\le y}) 를 로그적 성장으로 평가한다. 소수 (p>s) 에 대해서는 평균값 정리와 지수함수 근사를, (p\le s) 에 대해서는 Mertens 정리를 적용해 (\exp(s\log\log(s+2)+Cs)) 형태의 상한을 얻는다. 이때 상수 (C) 는 (\gamma, L, c_0, \alpha) 에만 의존한다.

다음 단계에서는 이 일반적인 결과를 구체적인 수열에 적용한다. Theorem 1.3 은 다항식 (f(n)=b_d n^d+\dots+b_0) 에 대해 (\omega(d)) 를 다항식의 근의 개수 (\rho(f,d)) 로 추정하고, (\rho(f,d)\le c,d,d^{1-1/d}) (Lemma 4.1) 를 이용해 (g(d)=d^{-1/d}) 로 설정한다. 결과적으로 다항식값에 대한 합과 초과 개수는 동일한 형태의 지수 상한을 만족한다.

Theorem 1.4 은 선형형식들의 곱 (f(b)=\prod_{i=1}^k(b-b_i)) 에 대해 (|b|\le\eta\log x) 인 구간을 조사한다. 여기서는 (\omega(n)) 를 (\min(p,k)) 로 제한하는 새로운 곱셈함수 (g) 을 정의하고, 두 경우 (k\ge\log\log x) 와 (k<\log\log x) 로 나누어 각각 (1.5), (1.6) 을 증명한다. 특히 (s) 가 (k) 보다 크거나 작을 때의 차이를 정밀히 분석해, 기존 결과에서 (s!) 대신 (\log s) 로 대체함으로써 상수를 크게 개선하였다.

마지막으로 Theorem 1.5 는 소수에 대한 다항식값을 다룬다. 여기서는 Brun‑Titchmarsh 부등식을 이용해 (\pi(x;k,a)) 를 제어하고, (\omega(n)) 를 (\gamma\pi(x)g(n)) 로 잡는다. (g(p)=\min(p,d)/(p-1)) 로 정의해 (\sum_{p}g(p)/p<\infty) 를 만족시키고, 앞서 얻은 일반 상한을 그대로 적용한다.

전체적으로 논문은 기존에 알려진 (\exp(s\log s)) 형태의 상한을 (\exp(s\log\log s)) 로 크게 개선했으며, 이는 (\frac{a_n}{\varphi(a_n)}) 가 평균적으로 (\log\log a_n) 정도 성장한다는 직관과 일치한다. 또한, 상수 의존성을 명확히 구분해 (예: (\gamma, L, c_0, \alpha)) 실제 적용 시 파라미터 선택이 용이하도록 설계되었다. 한계점으로는 (\omega(d)) 에 대한 선형 제한이 필요하고, (g) 이 양의 값을 가져야 한다는 점이 있다. 그러나 다항식, 선형형식, 소수와 같은 넓은 클래스에 적용 가능하다는 점에서 이론적·응용적 가치가 크다.