고정 차수와 높이를 가진 무작위 트리의 스케일링 극한

초록

본 논문은 각 정점의 차수와 높이가 사전에 지정된 대규모 균일 무작위 트리들의 거리 스케일링 극한을 연구한다. 프로필의 약한 수렴과 작은·큰 차수 정점들의 합병률을 기술하는 측정값(ν, ρ, Θ)을 가정하면, 거리와 측정이 정규화된 트리 Tₙ/n이 Gromov–Prokhorov 및 Gromov–Hausdorff–Prokhorov 위상에서 제한된 확률 측정 거리공간 T(ν, ρ, Θ)로 수렴함을 보인다. 또한 변동 환경에서의 Bienaymé‑Galton‑Watson 트리에도 적용한다.

상세 분석

논문은 먼저 높이와 차수가 미리 정해진 평면 트리 Tₙ을 정의한다. 각 높이 i에 대해 Dₙ,i는 그 층에 존재하는 정점 수이며, dₙ,i,j는 j번째 정점의 차수이다. 이때 (1)번 조건을 통해 모든 정점이 루트와 연결될 수 있도록 차수 제한을 두고, 높이별로 균등하게 부모를 선택해 트리를 구성한다. 주요 가정은 다음과 같다. 첫째, 프로필(높이별 정점 비율)인 Dₙ,i/∑_i Dₙ,i가 비원자 확률측도 ν에 약한 수렴한다(조건 Lim ν). 이는 무작위 정점의 높이가 ν에 따라 스케일링된다는 의미이며, hₙ/n≥1을 보장한다. 둘째, 작은 차수 정점들의 합병률을 기술하는 로컬 유한 측도 ρ와, 큰 차수 정점들의 합병을 기술하는 파라미터 집합 Θ={(θ_j(t))_j}_t가 존재한다. 구체적으로 (Lim ρ)와 (Lim Θ)에서 제시된 희박 수렴은 i/n와 dₙ,i,j/Dₙ,i의 비율이 각각 ρ와 θ_j(t)δ_t 로 수렴함을 의미한다. 여기서 θ_j(t)는 높이 t에서 차수가 비례적으로 큰 정점들의 상대적 비중을 나타내며, ∑_j θ_j(t)≤1, 비영점 집합이 가산이라는 제약을 둔다. 셋째, (Lim ≠)는 큰 차수 정점들이 서로 다른 높이에 존재하도록 하는 기술적 조건으로, 동일 높이에 있는 큰 차수 정점들이 Tₙ에서 실제로 같은 높이에 모여야 함을 보장한다. 마지막으로 (Tight GP)와 (Tight GHP)는 각각 Gromov–Prokhorov 및 Gromov–Hausdorff–Prokhorov 수렴을 위한 텐션 조건이다. (Tight GP)는 ν가 전 구간을 지지하고, ρ 혹은 θ가 어느 구간에서도 양의 질량을 갖도록 하며, (Tight GHP)는 각 높이 구간