이차 확장체 위 함수군의 동역학 완전 분석

초록

본 논문은 유한체 𝔽_q (q=p^s, p는 홀수 소수) 위에서 정의된 함수 f(X)=(cX^q+aX)(X^q−X)^{n−1} (a,c∈𝔽_q, n≥1)의 𝔽_{q^2} 상 동역학을 완전히 규명한다. 𝔽_{q^2}를 𝔽_q‑벡터공간으로 보고 좌표 변환을 통해 f를 선형‑다항식 형태로 표현한다. n이 짝수·홀수인 경우를 구분하여 사이클 길이, 사이클 수, 그리고 주기점에 붙는 전이 트리의 구조를 정확히 계산한다. 특히 0을 포함한 연결 성분은 δ₁,δ₂의 영·비영 여부에 따라 두 가지 형태만 존재하고, 그 외의 모든 트리는 동일한 형태를 가진다. 결과는 최대공약수, 곱셈 문자, 오일러 φ 함수 등 산술적 불변량으로 완전히 기술된다.

상세 분석

논문은 먼저 𝔽_{q^2}=𝔽_q⊕𝔽_qβ (β∉𝔽_q, β²∈𝔽_q) 로 두고 X=x+yβ (x,y∈𝔽_q) 로 표기한다. 이때 X^q = x−yβ 를 이용해
f(X)=((a+c)x+(a−c)yβ)(−2yβ)^{,n−1} 로 전개한다. n이 짝수이면 β^n,β^{n−2}∈𝔽_q 가 되므로
f(x,y)=⟨δ₁ y^n, δ₂ x y^{,n−1}⟩ (식 2.1) 로 단순화된다. 여기서 δ₁=(a−c)(−2)^{1−n}β^n, δ₂=(a+c)(−2)^{1−n}β^{,n−2}.
δ₁·δ₂≠0이면 0의 전이미지는 ⟨u,0⟩ (u∈𝔽_q) 뿐이며, ⟨u,0⟩ 의 전이미지는 u·δ₁ 가 n제곱인 경우에만 존재한다. 이를 통해 0을 포함한 연결 성분이 정확히 q+q·g(n)−1 개의 정점을 갖는 하나의 고정점 사이클(길이 1)과, 그에 붙는 q−1개의 1‑정점 트리(각 트리의 깊이는 1)로 이루어짐을 보인다. 여기서 g(m)=gcd(m,q−1)이다.

n이 홀수이면 β^n∉𝔽_q 가 되므로 식 (2.1) 은 더 복잡해진다. 저자는 f²를 계산해
f²(x,y)=⟨δ₁(δ₂ x y^{n−1})^{,n}, δ₂ δ₁ y^{,n}(δ₂ x y^{n−1})^{,n−1}⟩ = g(x,y)·⟨x,y⟩ 형태임을 보인다. 여기서 g(x,y)=δ₁ δ₂^{,n} x^{,n−1} y^{,n²−n}∈𝔽_q^*. 따라서 f^{2j}(x,y)=g(x,y)^{,n^{2j−1}+…+n}⟨x,y⟩, f^{2j+1}(x,y)=… 로 전개된다.

홀수 길이 사이클이 존재하려면 δ₁ δ₂ = (a−c)(a+c) 가 비제곱이어야 한다. 즉, a²−c² 가 비제곱인 경우에만 χ₂(a²−c²)=−1 이면 (정리 13) 홀수 사이클이 나타난다. γ∈𝔽_q 로 γ²=δ₁ δ₂ 라고 두면, x=γy 로 놓을 수 있고, 이후 g(x,y)^{…}·y^{n−1}=γ 가 되도록 하는 y 가 존재해야 한다. 이는 γ δ₂ 가 g(n−1) 제곱인 경우와, −γ δ₂ 가 g(n−1) 제곱인 경우 두 가지가 가능하며, 각각 Δ₀=2 혹은 1 로 가중된다. 최종적으로
(2j+1)·N(2j+1)=Δ₀·g(n−1)·∑_{i|(2j+1)} g(ni−1)
이라는 뫁비우스 역전식이 얻어지고, N(·) 은 정확히 계산된다.

짝수 사이클에 대해서는 정리 15 가 핵심이다. 𝔽_q^* 를 생성원 α 로 두고, q−1= s·r (r은 n과 서로소인 최대 인수) 로 분해한다. δ₁ δ₂=α^{ℓ₀} 로 놓고, 각 j (0≤j<r·g(n−1)) 에 대해
d_j = (q−1)/s·gcd((q−1)/s, t₀ + j·g(n−1)),
k_j = ord_{d_j}(n²)·(n²−1)
을 정의한다. 여기서 t₀ 은 ℓ₀·s^{-1} (mod g(n−1)) 를 만족하는 최소 양정수이다. 그러면
N(2k_j)= φ(d_j)·(q−1)·g(n−1) − Δ_e·2k_j,
Δ_e는 k_j 가 짝수이면 0, 홀수이면 k_j·N(k_j) 로 정의된다. 이 식은 모든 짝수 길이 사이클을 완전히 기술한다.

마지막으로 전이 트리 구조를 조사한다. 0을 제외한 모든 주기점에 붙는 트리는 동일한 형태이며, 각 정점은 정확히 하나의 전이미지를 갖는다. 트리의 깊이는 n에 의해 결정되며, 전이미지의 개수는 g(n) 혹은 g(n−1) 로 표현된다. 특히 δ₁=0 혹은 δ₂=0 인 특수 경우에는 전체 그래프가 하나의 연결 성분이 되며, 고정점 하나와 그 주변에 q−1개의 잎이 달린 별 형태가 된다.

전반적으로 저자는 𝔽_{q^2} 위에서 f의 동역학을 “벡터공간 표현 → 좌표식 → 사이클·전이 트리 분류”라는 3단계 흐름으로 정리하고, 모든 경우에 대한 정확한 수식과 예시를 제공한다. 이는 기존의 x↦x², Chebyshev, Rédei 등 특수한 다항식들의 동역학 연구를 일반화한 것으로, 암호·난수 생성 등 실용적 응용에서도 활용 가능성이 높다.