연결된 기본 영역과 합동 부분군의 표준 대표자

초록

본 논문은 합동 부분군 Γ₀(N), Γ₁(N), Γ(N) 에 대한 전형적인 오른쪽 여류 대표자 집합을 명시적으로 구성하고, 이들로부터 얻어지는 기본 영역이 모두 연결됨을 증명한다. 핵심은 ℤ/Nℤ 위의 사영선 ℙ¹(ℤ/Nℤ) 을 연구하여 다중도 함수 M과 보다 계산이 쉬운 함수 W를 정의하고, W = M + 1 임을 보이는 데 있다. 또한, 대표자들의 그래프를 S, T, T⁻¹ 생성원으로 만든 Cayley‑subgraph가 연결된다는 사실을 이용해 영역의 연결성을 확보한다.

상세 분석

논문은 먼저 Γ(1)=SL₂(ℤ) 의 기본 영역 D={z∈ℍ | |z|>1, |Re z|<½} 을 소개하고, 임의의 유한한 오른쪽 여류 대표자 집합 {γ₁,…,γ_n} 에 대해 E=⋃_{i=1}^n γ_i D 가 기본 영역이 되려면 연결성만 추가로 만족하면 된다는 일반적 레마(Lemma 2.1)를 증명한다. 여기서 핵심은 각 γ_i D 가 초지오데식 삼각형이며, 서로가 S, T, T⁻¹ 중 하나로 연결될 때만 경계가 공유한다는 사실이다.

그 다음, ℙ¹(ℤ/Nℤ) 과의 일대일 대응을 이용해 Γ₀(N) 의 여류와 ℙ¹(ℤ/Nℤ) 의 원소를 연결한다. ℙ¹(ℤ/Nℤ) 을 두 부분 A₁={ (1:b) }와 H={ (a:b) | gcd(a,N)>1, gcd(a,b,N)=1 } 으로 분리하고, 각 원소에 대해 최소 m≥0 로 m·a−b 가 단위가 되도록 하는 함수 M(a:b) 을 정의한다. 이때 M 은 실제로는 W−1 과 관계가 있으며, W(j)=min{m∈ℕ | m·j−1∈(ℤ/Nℤ)^{×}} 로 정의된다. 정리 1.12는 W(j)=M_j+1 임을 보여, 원래 정의보다 훨씬 효율적으로 M_j 값을 구할 수 있음을 의미한다.

구체적인 대표자 집합 Θ₀은
 { S T^i | −N₁≤i≤N₂ } ∪ { S T^j S T^m | gcd(j,N)>1, 0≤m≤M_j }
으로 제시된다. 여기서 N₁=⌊(N−1)/2⌋, N₂=⌊N/2⌋ 이며, e_x 는 x 를