제한된 합리성의 정보기하학 엔트로피 정규화 선택과 쌍곡 타원 양자 기하학

초록

본 논문은 제한된 합리성 모델을 하나의 정보기하학적 틀로 통합한다. 피셔‑라오 거리로 정의된 확률 단순체 위에서 최소‑작용 원리를 도입해 진폭(제곱근) 좌표로 의사결정 흐름을 기술하고, 이를 비정규화 진폭의 상미분 위상공간으로 상승시킨다. 선형 평가 연산자를 대칭·반대칭 부분으로 분해해 효용 채널과 공동‑효용(회전) 채널을 구분하고, 제로‑잔여 라그랑지안 잎에서 쌍곡(분할 복소) 슈뢰딩거 형태의 흐름을 얻는다. 이 흐름을 단순체에 투사하면 효용과 비보존적 코‑유틸리티가 결합된 1‑형식이 등장하며, 그 곡률이 경로 의존성을 측정한다. 추가적인 켈러화(pol​arisation)를 가하면 전통적인 복소수 양자역학의 유니터리 진화를 회복한다는 점을 보인다.

상세 분석

이 연구는 세 가지 핵심 기하학적 요소를 결합한다. 첫째, 확률 벡터 q ∈ Δⁿ⁻¹에 대해 제곱근 변환 ρ = √q 를 적용해 양의 구 Sⁿ⁻¹₊ 에 매핑하고, 구의 라운드 메트릭을 끌어와 피셔‑라오 메트릭 g_F = ¼ ι* g_S 를 얻는다. 이는 희소 사건에 대해 거리·불확실성을 크게 부여하는 자연스러운 구별 척도이다. 둘째, 고정 선형 연산자 V̂ = Ŝ+F̂ (대칭 Ŝ, 반대칭 F̂) 를 진폭 공간에 작용시켜 선호 1‑형식 ᾱ_S(η)=⟨η, Q_ρ V̂ ρ⟩ 을 정의한다. 여기서 Q_ρ 는 접공간 투영이며, 대칭 부분 Ŝ 은 g_S‑듀얼을 통해 효용 함수 U(q) 의 정확한 미분 dU 을 생성하고, 반대칭 F̂ 은 g_F‑코‑정확(co‑exact) 형태로 순환적(코‑유틸리티) 흐름을 만든다. 셋째, 최소‑작용 원리를 도입해 진폭 ρ 의 라그랑지안 L(ρ, ẋ)=½⟨ẋ, ẋ⟩ − ⟨ρ, V̂ ρ⟩ 을 설정하고, 이에 대한 해밀턴 방정식을 상미분 위상공간 N=T*ℝⁿ 에 승격한다. N은 자연적인 심플렉틱 2‑형식 ω 과 중성(metric) g_N 을 동시에 갖는 파라‑켈러 구조를 띤다. 제로‑잔여 라그랑지안 잎(즉, ⟨ρ, V̂ ρ⟩=0 조건을 만족하는 부분)에서는 동역학이 분할 복소수(쌍곡) 형태의 슈뢰딩거 방정식 i ∂ₜψ=Ĥψ 와 동형이며, 여기서 ψ 는 실수 진폭의 쌍곡적 복합화이다. 관측 확률은 q_i=ψ_i² 와 같은 하이퍼볼릭 보른 규칙으로 얻어진다. 이 구조는 전통적인 양자‑유사 모델이 요구하는 복소수 위상과 비가환성을 실질적으로 재현한다.

단순체에 투사하면, 선호 1‑형식 α = dU + β 가 나타난다. β 는 발산이 0인 코‑유틸리티 성분이며, 그 외부 미분 dβ 는 곡률 Ω = dβ 로 해석된다. Ω 가 비제로이면 경로 의존적(홀로노미) 효과가 발생해, 동일한 시작·끝 상태라도 순서에 따라 다른 선택 확률이 나타난다. 이는 기존 QL 모델에서 보고된 ‘문맥 효과’, ‘순서 효과’, ‘전통적 전법칙 위반’ 등을 자연스럽게 설명한다.

마지막으로, 파라‑켈러 공간 N에 복소 구조 J (켈러화)를 강제하면, 전체 해밀턴 흐름이 J‑보존적 부분으로 투사되어 복소수 힐베르트 공간 ℂⁿ 위의 유니터리 진화 U(t)=e^{-iHt} 를 회복한다. 따라서 복소 양자역학은 파라‑켈러 구조 위에 추가적인 ‘코히런스 제한’이 부과된 특수 경우이며, 기본적인 원리는 최소‑작용 원리와 피셔‑라오 기하에 기인한다는 결론을 얻는다.

이 논문은 제한된 합리성 연구에 정보기하학을 도입함으로써 ER 모델과 QL 모델을 하나의 연속체로 연결하고, 두 접근법이 서로 다른 투사와 제한에 의해 나타나는 현상임을 명확히 한다. 또한, 파라‑켈러와 쌍곡 양자 기하학이라는 새로운 수학적 도구를 제시해, 행동경제학·인지과학·양자 인지 모델링 사이의 교량을 제공한다.