임계선에서 리만 제타 함수의 큰 편차와 모멘트에 대한 새로운 하한

초록

본 논문은 임계선 $\Re s=1/2$에서 $\log|\zeta(1/2+it)|$가 $V\sim\alpha\log\log T$ 정도로 크게 벗어나는 사건의 확률에 대한 무조건적 하한을 제시한다. $\alpha>0$에 대해 $T$가 충분히 클 때 \

상세 분석

논문은 크게 두 가지 혁신적인 기법을 결합한다. 첫 번째는 Selberg‑Centra​l Limit Theorem 수준을 넘어서는 큰 편차 $V\sim\alpha\log\log T$에 대해, 부분합 $S(\eta,t)=\sum_{p\le\eta}\frac{\cos(t\log p)}{p^{1/2}}+\frac12\sum_{p\le\eta}\frac{\cos(2t\log p)}{p}$ 로 $\log|\zeta(1/2+it)|$를 근사하고, 이를 $\log\log$ 스케일에 따라 구간 $P_j$ 로 나누어 “랜덤 워크” 형태로 분석한다. 각 구간마다 제한 $L_j,U_j$ 를 설정하고, 작은 소수 구간 $P_0$ 에는 길게 늘린 몰리피어 $M_0(t)$ 를, 큰 소수 구간에는 짧은 몰리피어 $M_j(t)$ 를 도입해 전체 몰리피어 $M(t)=\prod_{j=0}^J M_j(t)$ 를 구성한다. 이때 $M(t)$는 $|\zeta(1/2+it)|$와 거의 독립적인 확률 변수가 되도록 설계된다.

두 번째 핵심은 Paley‑Zygmund 부등식(또는 Paley‑Zygmund 형태의 Cauchy‑Schwarz) 을 이용해 \