로그 볼록 함수의 절단·투영에 대한 새로운 부등식

초록

본 논문은 적분가능한 로그-볼록 함수에 대해 전통적인 볼록체의 절단·투영 부등식을 일반화한다. 함수형 affine·dual‑affine quermassintegrals 를 정의하고, 이들의 상·하한을 함수의 L¹ 노름으로 추정한다. 또한 Milman이 제안한 Busemann‑Petty·Shephard 변형 문제를 함수 버전으로 해결하고, 저차원 절단·투영 문제에 대한 새로운 추정식을 제시한다. 핵심 도구는 Ball의 Kₚ‑체와 혼합 적분이며, 얻어진 상수는 기존 기하학적 결과와 동일한 차수를 가진다.

상세 분석

논문은 먼저 로그-볼록 함수 f∈F(ℝⁿ) 에 대해 “섹션” f|{E⊥} 와 “투영” P_E f 를 정의한다. 여기서 E∈G{n,k} 은 k‑차원 부분공간이며, P_E f(x)=max_{y∈x+E^{⊥}} f(y) 로 정의된다. 기존 볼록체의 dual‑affine quermassintegral Ψ_k(K)=∫{G{n,k}}|K∩E^{⊥}|^{n} dν(E) 를 함수 버전으로 Ψ_k(f)=∫{G{n,k}}‖f|{E⊥}‖{∞}^{n} dν(E) 로 확장한다. 정리 1.1은 기하학적 로그‑볼록 함수에 대해
c·‖f‖{1}^{(n−k)/n} ≤ Ψ_k(f) ≤ √e·‖f‖{1}^{(n−k)/n}
를 보이며, c는 절대 상수이다. 이는 볼록체 경우와 동일한 차수의 상수임을 의미한다.

다음으로 affine quermassintegral Φ_k(K)=∫{G{n,k}}|P_E K|^{−n} dν(E) 를 함수에 대해 Φ_k(f)=\big(∫0^{∞}Φ_k(R_t(f))^{n} dt\big)^{1/n} 로 정의한다. 여기서 R_t(f)={x:f(x)≥t}는 레벨집합이다. 정리 1.2는
c₁·p{n/k}·‖f‖{1}^{1/n} ≤ Φ_k(f) ≤ c₂·p{n/k}·φ_{n,k}·‖f‖{1}^{1/n}
를 얻는다. p{n/k}= (n/k)^{(n−k)/n}·(1−k/n)^{k/n} 은 볼록체 부등식에서 나타나는 표준 계수이며, φ_{n,k}=min{n·log n, n·k·log(e·n/k)} 로서 차원을 반영한다.

Milman이 제시한 “투영 ≤ 절단이면 부피 ≤” 형태의 문제를 함수 버전으로 확장한다. 정리 1.3은
‖P_E f‖{1} ≤ ‖g|{E⊥}‖{1} (∀E∈G{n,n−k}) ⇒ ‖f‖_{1} ≤ \frac{n!}{