연산자 학습을 위한 Leray‑Schauder 매핑 기반 보편 근사 프레임워크

초록

본 논문은 Banach 공간 사이의 연산자를 학습하기 위해 Leray‑Schauder 매핑을 이용한 유한 차원 근사 기법을 제안한다. 이 방법은 연산자 자체를 함수 공간 수준에서 근사함으로써, 기존의 격자 기반 접근법이 갖는 해상도 의존성을 탈피한다. 이론적으로는 任意의 정확도 ϵ에 대해 유한 차원 서브스페이스와 신경망을 조합해 연산자를 보편적으로 근사할 수 있음을 증명하고, 실험에서는 Burgers 방정식과 비선형 적분 방정식 두 벤치마크에서 최신 모델과 동등한 성능을 보인다.

상세 분석

이 논문은 연산자 학습 분야에서 ‘함수 공간 자체를 다루는’ 새로운 패러다임을 제시한다는 점에서 학술적 의의가 크다. 기존 DeepONet, FNO(Fourier Neural Operator) 등은 입력·출력 함수를 고정된 격자에 샘플링한 뒤, 그 이산화된 데이터를 신경망에 입력한다. 따라서 학습 후에 격자 해상도를 바꾸면 보간 성능이 보장되지 않으며, 특히 토큰화 과정에서 발생하는 계단형(스텝) 현상이 문제로 지적돼 왔다. 저자는 이러한 한계를 Leray‑Schauder 매핑을 통해 근본적으로 해결한다.

Leray‑Schauder 매핑은 컴팩트 집합 K 위에서 ϵ‑넷을 구성하고, 각 중심점 x_i에 대해 거리 기반 가중치 μ_i(x)를 정의함으로써 비선형 투영 P_n: X→E_n을 만든다. 이때 E_n은 유한 차원 서브스페이스이며, μ_i는 거리와 ϵ에 따라 0 또는 양의 값을 갖는다. 논문은 기존 이론(