비선형 시공간 PDE 데이터 생성 가속화: 동류 교란 기반 솔루션 합성

초록

본 논문은 고해상도 기본 해를 소수의 시간 스텝으로 다운샘플링한 뒤, 작은 스칼라와 잡음을 이용해 두 해를 합성하는 “동류 교란(Homologous Perturbation)” 기법을 제안한다. 합성된 해를 원 PDE에 대입해 새로운 RHS를 계산함으로써, 전통적인 수치 시뮬레이션에 비해 10배 가량 빠르게 대규모 학습 데이터를 생성한다.

상세 분석

HOPSS(HOmologous Perturbation in Solution Space) 알고리즘은 기존 데이터 생성 파이프라인의 두 가지 병목을 동시에 해소한다. 첫 번째는 수치 해석기법이 요구하는 수천 단계의 시간 적분이다. 고정밀 솔버로부터 얻은 소수(100~500)개의 베이스 솔루션을 미리 확보하고, 이를 학습에 필요한 수십 단계 수준으로 다운샘플링함으로써 시간 복잡도를 O(T·N_dof·log N_dof) → O(T_train·N_dof) 수준으로 낮춘다. 두 번째는 비선형 항(N(u))을 포함한 PDE에서 매 스텝마다 비선형 연산과 FFT 변환이 필요하다는 점이다. HOPSS는 새로운 해 u_new = u_i + μ·u_j + ξ 를 생성한 뒤, 동일한 공간·시간 이산화 스키마를 이용해 직접 RHS f_new을 역산한다. 여기서 μ≈10⁻³, ξ≈N(0,σ²I) (σ≈10⁻⁴) 로 설정해 교란의 크기를 물리적으로 무시할 수 있는 수준으로 제한한다. 중요한 점은 u_new이 실제 PDE를 만족하도록 f_new을 계산한다는 것이다. 즉, “전방 시뮬레이션 없이 역방향으로 RHS를 구한다”는 원리다. 이 과정은 선형 연산(L·v)와 비선형 연산 N(u_i+v)의 차이를 이용해 δf = ∂v/∂t – L(v) –