트리 반복 함수 시스템의 극한 집합 차원 공식

초록

본 논문은 트리 구조를 갖는 반복 함수 시스템(TIFS)을 정의하고, 그 극한 집합의 Hausdorff 차원을 구하는 일반화된 Bowen 공식 β* 을 제시한다. 특히, 전통적인 비자율 IFS와 달리 최대 안티체인을 이용한 압력 함수 Z* 를 도입하고, 조건 (3) 하에서 차원이 β* 와 일치함을 증명한다. 또한 β* 와 기존 비자율 IFS 차원 β 가 다를 수 있음을 보여주는 구체적 예시를 제공한다.

상세 분석

논문은 먼저 유한 분기와 가지치기(pruned)된 루트 트 T 위에 정의된 함수 집합 {ϕ_τ} 을 통해 TIFS를 구성한다. 각 ϕ_τ는 동일한 수축 상수 s∈(0,1) 을 만족하는 균일 수축 사상이며, X는 컴팩트 연결 거리공간이다. 극한 집합 J는 모든 무한 경로 ω∈∂T에 대해 Φ_{ω|n}(X)의 교집합으로 정의되며, 이는 전통적인 IFS의 attractor와 동일한 방식으로 얻어진다. 그러나 트리 구조 때문에 자기유사성이 사라지고, 대신 “최대 안티체인”(maximal antichain)이라는 개념이 핵심이 된다.

저자는 T가 유한 분기임을 가정하고, 각 ϕ_τ가 C¹‑미분동형이며 볼록성(conformality)과 유한 변형(bounded distortion) 조건을 만족하는 Conformal TIFS(CTIFS) 를 정의한다. 이때 연산자 노름 ‖Φ’_ω‖ 을 이용해
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