Genus 2 곡선의 Wirtinger형 적분과 비틀린 동·코호몰로지 연구

초록

본 논문은 미즈타니·와타나베가 제시한 genus 2 초타원곡선 위의 Wirtinger형 적분을 대상으로, 해당 적분에 연결된 비틀린 동·코호몰로지 군을 초타원 대칭과 교차 형태를 이용해 체계적으로 분석한다. 1‑고유값·(-1)‑고유값 부분공간으로의 분해와 그에 대한 교차 행렬을 명시적으로 계산하고, 기존 결과를 교차 형태 관점에서 재해석·일반화한다.

상세 분석

논문은 먼저 2차 초타원곡선 ( \bar X:; y^{2}=x(x-1)(x-z_{1})(x-z_{2})(x-z_{3}) ) 를 정의하고, 6개의 특이점 (P_{0},\dots ,P_{5}) 를 제외한 비정규화된 곡면 (X) 와 그 기저가 되는 구멍이 뚫린 구 (,Y=\mathbb{P}^{1}\setminus{0,z_{1},z_{2},z_{3},1,\infty}) 를 고려한다. 이때 이중 커버 (pr:X\to Y) 와 초타원 대칭 (\iota(x,y)=(x,-y)) 가 핵심적인 역할을 한다.

적분식 (1.2) 를 (pr) 로 끌어올려 얻은 식 (2.1)은 다변수 Lauricella 함수 (F_{D}) 의 한 형태이며, 그 인테그란트 (T=\prod_{j=0}^{4}(x-z_{j})^{2c_{j}}) 은 다중값 함수이다. 저자는 (T) 로부터 로컬 시스템 (L=\mathbb{C}T) 와 그 역원 (L^{\vee}) 를 정의하고, 연결 (\nabla = d + d\log T\wedge) 등을 이용해 비틀린 동·코호몰로지 군 (H_{1}(X;L), H_{1}(X;L^{\vee})) 등을 구축한다.

핵심 기법은 초타원 대칭 (\iota) 가 동·코호몰로지에 미치는 작용을 이용해 고유값 (\pm1) 부분공간으로 분해하는 것이다. (\iota^{*}) 로 정의된 사영 연산을 통해
\